Bileşik faiz, faizin de faiz kazanmasıdır. Bakiyenize her faiz eklendiğinde bir sonraki faiz turu daha büyük toplam üzerinden hesaplanır; böylece para zamanla giderek daha hızlı büyür. Formül A = P(1 + r/n)nt biçimindedir: yıllık %5 ile yıllık bileşikleştirilen 10.000, 10 yıl sonunda 16.288,95 olur; yalnızca basit faiz ödenseydi bu tutar 15.000 olurdu. Bu rehber formülü sembol sembol açıklar, örnekler üzerinden ilerler, bileşikleştirme sıklığının insanların sandığından neden daha az önemli olduğunu gösterir ve düzenli birikimi, 72 kuralını, enflasyonu, ücretleri ve borcu ele alır.
- Basit faiz yalnızca ilk tutar üzerinden ödenir; bileşik faiz ise daha önce kazanılmış faiz üzerinden de ödenir.
- A = P(1 + r/n)nt formülü başlangıç tutarı P'yi, yıllık oran r'yi, yılda kaç kez bileşikleştirildiğini gösteren n'yi ve yıl sayısı t'yi kullanır.
- Zaman ve oran, bileşikleştirme sıklığından çok daha önemlidir. APY veya AER, bileşikleştirme dahil edildiğinde gerçek yıllık oranı gösterir.
- 72 kuralı (72 ÷ oran = paranın ikiye katlanma süresi, yıl) kesin bir cevap değil, hızlı bir yaklaşımdır.
- Enflasyon ve ücretler de bileşik işler; kredi kartı gibi borçların faizi de öyle.
Basit faiz ve bileşik faiz
Basit faizde her yıl aynı tutarı kazanırsınız, çünkü faiz her zaman yalnızca ilk tutar üzerinden hesaplanır: faiz = P × r × t. Bileşik faizde ise faiz bakiyeye eklenir ve o andan sonra kendi faizini kazanır.
Yıllık %5 ile 10.000'i ele alalım. Basit faiz her yıl 500 öder. Bileşik faiz de ilk yıl 500 öder, ancak ikinci yıl 10.500'ün %5'ini, yani 525'i, sonra 11.025'in %5'ini, yani 551,25'i öder ve bu böyle sürer.
| Yıllık %5 ile 10.000 | Basit faiz | Yıllık bileşik | Fark |
|---|---|---|---|
| 1 yıl sonra | 10.500,00 | 10.500,00 | 0,00 |
| 10 yıl sonra | 15.000,00 | 16.288,95 | 1.288,95 |
| 30 yıl sonra | 25.000,00 | 43.219,42 | 18.219,42 |
Fark başta küçüktür, sonra hızla açılır. Bileşikleştirmenin bütün mantığı budur: büyüme eğrisi yukarı doğru kıvrılır, dolayısıyla işin çoğunu son yıllar yapar.
Bileşik faiz formülü
Tek bir tutar için standart formül şöyledir:
A = P(1 + r/n)nt
| Sembol | Anlamı | Örnek |
|---|---|---|
| A | Sonundaki tutar (faiz dahil bakiye) | Bulmak istediğiniz değer |
| P | Anapara, yani başlangıç tutarınız | 5.000 |
| r | Ondalık olarak yıllık faiz oranı | %4 = 0,04 |
| n | Faizin yılda kaç kez eklendiği | Aylık için 12 |
| t | Yıl sayısı | 8 |
Kazanılan faiz A − P'dir. Faiz sürekli bileşikleştirilirse (n'nin sonsuza gittiği sınır durumu), formül A = Pert olur; burada e ≈ 2,71828'dir.
Adım adım örnek
Yıllık %4 faiz ödeyen, aylık bileşikleştirilen bir hesaba 8 yıl boyunca 5.000 yatırıyorsunuz.
- Dönem başına oran: r/n = 0,04 ÷ 12 ≈ 0,003333.
- Dönem sayısı: nt = 12 × 8 = 96.
- Büyüme çarpanı: (1,003333)96 ≈ 1,3764.
- A = 5.000 × 1,3764 ≈ 6.881,98; yani kazanılan faiz yaklaşık 1.881,98'dir.
Büyüme çarpanını çok erken yuvarlamak sonucun birkaç birim kaymasına yol açar; bu yüzden hesap makinesi kullanmak işe yarar. Bileşik faiz hesaplayıcı bu formülü kendi sayılarınızla adım adım gösterir.
Bileşikleştirme sıklığı, APY, AER ve EAR
Faiz yıllık, altı aylık, üç aylık, aylık veya günlük eklenebilir. Daha sık bileşikleştirme, faizin faiz kazanmaya daha erken başlaması demektir; dolayısıyla aynı nominal oran biraz daha hızlı büyür. İşte %6 ile 10 yıl boyunca 10.000:
| Bileşikleştirme | 10 yıl sonraki bakiye | Efektif yıllık oran |
|---|---|---|
| Yıllık (n = 1) | 17.908,48 | %6,000 |
| Üç aylık (n = 4) | 18.140,18 | %6,136 |
| Aylık (n = 12) | 18.193,97 | %6,168 |
| Günlük (n = 365) | 18.220,29 | %6,183 |
| Sürekli | 18.221,19 | %6,184 |
Son sütun efektif yıllık orandır: (1 + r/n)n − 1, sürekli bileşikleştirmede ise er − 1. Bileşikleştirmeyi tek bir yıllık rakama indirger. ABD'de buna APY (yıllık yüzde getiri), Birleşik Krallık'ta AER (yıllık eşdeğer oran), genel olarak finans dilinde ise EAR denir. Tasarruf hesaplarını bu rakama göre karşılaştırmak, bileşikleştirme takvimleri ne olursa olsun onları eşit koşullara getirir.
Farkların ne kadar küçük olduğuna dikkat edin. Burada yıllık bileşikleştirmeden günlük bileşikleştirmeye geçmek on yılda yaklaşık 312 ekler; oranı %6'dan %7'ye çıkarmak ise 1.700'ün çok üzerinde ekler. Sıklık ancak diğer her şey eşitse fark yaratır; asıl önemli olan oran ve süredir.
Düzenli katkılar: bir serinin gelecekteki değeri
Çoğu insan tek seferde büyük bir tutar yerine azar azar biriktirir. Düzenli aralıklarla yatırılan eşit tutarlar bir annüite oluşturur ve bunların dönem sonundaki toplam değeri şudur:
FV = PMT × ((1 + i)N − 1) / i
Burada PMT her bir yatırma tutarı, i yatırma dönemi başına faiz oranı ve N yatırma sayısıdır. Bu, her yatırmanın dönem sonunda yapıldığını varsayar. Dönem başında yatırırsanız her yatırma bir dönem fazladan faiz kazanır; bu durumda sonucu (1 + i) ile çarpın.
Örnek: aylık bileşikleştirilen %6 ile 30 yıl boyunca ayda 200. O zaman i = 0,06 ÷ 12 = 0,005 ve N = 360 olur; FV = 200 × (1,005360 − 1) ÷ 0,005 ≈ 200.903,01. Siz 72.000 yatırdınız; kalan 128.903,01 faizdir. Her ayın başında yatırırsanız sonuç yaklaşık 201.907,52 olur.
Aylık biriktiriyor ama hesap farklı bir sıklıkta bileşikleştiriyorsa, önce oranı yatırma dönemi başına eşdeğer bir orana çevirin: i = (1 + r/n)n/m − 1; burada m yılda kaç kez yatırma yapıldığıdır. Yıllık bileşikleştirilen %5 ve aylık yatırmalar için i = 1,051/12 − 1 ≈ ayda %0,4074 olur.
Erken başlamak neden önemli
İki tasarruf sahibi, aylık bileşikleştirilen %6 kazanıyor. A kişisi 15 yıl boyunca ayda 200 yatırıyor, sonra duruyor ve parayı 15 yıl daha bekletiyor. B kişisi 15 yıl bekliyor, sonra 15 yıl boyunca ayda 400 yatırıyor. İkisi için de süre aynı anda doluyor.
| Yatırılan | 30 yıl sonraki bakiye | |
|---|---|---|
| A kişisi: ayda 200, 1 ile 15. yıllar | 36.000 | 142.739,27 |
| B kişisi: ayda 400, 16 ile 30. yıllar | 72.000 | 116.327,48 |
A kişisi yarısı kadar yatırıyor ve yine de daha fazlasına ulaşıyor, çünkü parası daha uzun süre bileşik işliyor. Bunlar sabit bir oranla hazırlanmış örnek rakamlardır; gerçek yatırım getirileri inip çıkar.
72 kuralı
Paranın ikiye katlanmasının ne kadar süreceğini tahmin etmek için 72'yi yüzde olarak yıllık faiz oranına bölün. %6'da 72 ÷ 6 = 12 yıl. Bu zihinden yapılan bir kestirmedir ve yalnızca bir yaklaşımdır. Yıllık bileşikleştirmede kesin ikiye katlanma süresi ln(2) ÷ ln(1 + r) ile bulunur:
| Oran | 72 kuralı | Kesin (yıllık bileşik) | Hata |
|---|---|---|---|
| %2 | 36,0 yıl | 35,00 yıl | 1,00 yıl fazla |
| %4 | 18,0 yıl | 17,67 yıl | 0,33 yıl fazla |
| %6 | 12,0 yıl | 11,90 yıl | 0,10 yıl fazla |
| %8 | 9,0 yıl | 9,01 yıl | 0,01 yıl eksik |
| %10 | 7,2 yıl | 7,27 yıl | 0,07 yıl eksik |
| %12 | 6,0 yıl | 6,12 yıl | 0,12 yıl eksik |
Kural en doğru sonucu %8 civarında verir; çok düşük veya çok yüksek oranlarda sapma artar. Tersi yönde de işler: %3 enflasyonda fiyatlar kabaca 72 ÷ 3 = 24 yılda ikiye katlanır (kesin değer yaklaşık 23,45).
Enflasyon ve reel getiri
Daha büyük bir sayı, daha fazla alım gücü demek değildir. Fiyatlar yükselirse paranın her birimiyle daha az şey alınır; bu yüzden bakiyenizin reel değerine bakmanız gerekir: reel değer = nominal değer ÷ (1 + enflasyon)t.
Örnek: yıllık %5 ile 20 yıl büyüyen 10.000, 26.532,98 olur. Bu sürede enflasyon yılda ortalama %3 ise bugünkü fiyatlarla reel değeri 26.532,98 ÷ 1,0320 ≈ 14.690,67'dir. Reel getiri oranı (1,05 ÷ 1,03) − 1 ≈ yılda %1,94'tür; bu, 2 puanlık basit farktan biraz daha azdır.
Faiz enflasyonun altında kaldığında, bakiye artarken bile birikimler alım gücü kaybeder. Hesaplayıcı, reel değeri yıl yıl göstermek için bir enflasyon oranı girmenize olanak tanır.
Ücretler bileşik getiriyi nasıl azaltır
Fonlar, emeklilik planları ve yatırım platformlarındaki yıllık kesintiler her yıl bakiyenizden düşer; bu yüzden size karşı bileşik işler. Kulağa küçük gelen bir ücret, uzun vadeli büyümenin büyük bir payını alabilir. Aşağıdaki rakamlar sabit bir getiriyle hazırlanmış örnek rakamlardır; herhangi bir gerçek ürün için tahmin değildir.
| Ücret öncesi %7 ile 30 yıl boyunca 10.000 | Net büyüme | Bakiye |
|---|---|---|
| Ücret yok | Yılda %7,0 | 76.122,55 |
| %0,2 yıllık ücret | Yılda %6,8 | 71.967,69 |
| %1 yıllık ücret | Yılda %6,0 | 57.434,91 |
Bu örnekte %1'lik yıllık ücret, yıllık getirinin yalnızca yedide biri olmasına rağmen 18.687,64'e, yani nihai bakiyenin yaklaşık dörtte birine mal olur. Faiz veya kazançlar üzerindeki vergiler de benzer şekilde işler; kurallar ülkeden ülkeye değişir, bu yüzden sizin için geçerli olanları kontrol edin.
Borçta bileşikleştirme
Bileşikleştirme borç verenler için de aynı güçle işler. Kredi kartları genellikle bir APR belirtir ve ödenmemiş bakiye üzerinden aylık faiz uygular. %24 APR (ayda %2) ile 2.000'lik bir bakiye, ödeme yapılmadan ve yeni harcama olmadan bir yılda 2.000 × 1,0212 ≈ 2.536,48'e çıkar; bu yaklaşık %26,82'lik efektif orandır. Kart koşulları değişir ve bazıları günlük faiz uygular, ancak ders aynıdır: asgari tutardan fazlasını ödemek, faizin faiz üzerine birikmesini durdurur. Geri ödemeleri planlamak için borç kapatma hesaplayıcıya veya sabit faizli bir kredinin toplamda ne kadar faize mal olduğunu gösteren kredi hesaplayıcıya bakın.
Kendi sayılarınızla deneyin
Bileşik faiz hesaplayıcı; başlangıç tutarını, her dönemin başında veya sonunda yapılan aylık ya da yıllık yatırmaları, her türlü bileşikleştirme sıklığını, katkılarda yıllık artışları ve enflasyonu işler; ayrıca bir grafik, yıllık bir tablo ve sayılarınızla formülü gösterir. ABD'de emeklilik birikimi için 401(k) hesaplayıcı, işveren katkısını ve katkı sınırlarını da ekler. Hızlı yüzde değişimleri için yüzde hesaplama aracını kullanın.
Bu rehber genel bilgi niteliğindedir, finansal tavsiye değildir. Oranlar, ücretler ve vergi kuralları değişir; yatırımlar yükselebildiği gibi düşebilir de.
Sıkça sorulan sorular
Bileşik faiz formülü nedir?
A = P(1 + r/n)nt; burada P başlangıç tutarı, r ondalık olarak yıllık oran, n yılda kaç kez bileşikleştirildiği ve t yıl sayısıdır. Düzenli yatırmalar için bir serinin gelecekteki değerini ekleyin: PMT × ((1 + i)N − 1) / i.
10.000, 10 yılda ne kadar büyür?
Orana bağlıdır. Örnek olarak, aylık bileşikleştirilen yıllık %5'te 10.000 yaklaşık 16.470,09 olur; yıllık bileşikleştirilen %7'de yaklaşık 19.671,51 olur. Kendi oranınızı ve vadenizi denemek için hesaplayıcıyı kullanın.
APR ile APY arasındaki fark nedir?
APR nominal bir yıllık orandır (krediler için bazı ücretleri de içerebilir); APY ise, Birleşik Krallık'ta AER olarak adlandırılan, bileşikleştirme sonrası efektif yıllık orandır. Aylık bileşikleştirilen %6 APR, yaklaşık %6,168 APY eder.
Günlük bileşikleştirme aylıktan çok daha mı iyi?
Yalnızca biraz. %6 ile 10 yıl boyunca 10.000, aylık bileşikleştirmeyle 18.193,97, günlük bileşikleştirmeyle 18.220,29 olur; fark yaklaşık 26'dır.
72 kuralı ne kadar doğru?
Tipik oranlar için yakındır: %6'da kesin değer 11,90 yılken kural 12 yıl verir. Çok düşük veya çok yüksek oranlarda daha az doğrudur; örneğin %2'de kesin değer 35,00 yılken kural 36 yıl verir.
Bileşik faiz kredilerde aleyhime mi işler?
Evet, kredi kartlarında olduğu gibi ödenmemiş faiz borcunuza eklendiğinde. Sabit faizli bireysel kredilerin ve konut kredilerinin çoğu, her ayın faizini karşılayan taksitlerle geri ödenir; bu yüzden ödemeleri aksatmadığınız sürece faiz birikmez.