الفائدة المركبة هي فائدة تُكسَب على الفائدة. ففي كل مرة تُضاف فيها الفائدة إلى رصيدك، تُحسب الدورة التالية من الفائدة على المجموع الأكبر، فينمو المال أسرع فأسرع مع الوقت. والصيغة هي A = P(1 + r/n)nt: فمبلغ 10,000 بفائدة 5% سنويًا تُركَّب سنويًا يصبح 16,288.95 بعد 10 سنوات، مقابل 15,000 لو دُفعت فائدة بسيطة فقط. يشرح هذا الدليل الصيغة رمزًا رمزًا، ويحل أمثلة، ويبيّن لماذا يهم تواتر التركيب أقل مما يظن الناس، ويتناول الادخار المنتظم وقاعدة 72 والتضخم والرسوم والديون.
- تُدفع الفائدة البسيطة على المبلغ الأصلي فقط؛ أما الفائدة المركبة فتُدفع أيضًا على الفائدة المكتسبة سابقًا.
- تستخدم الصيغة A = P(1 + r/n)nt المبلغ الابتدائي P والمعدل السنوي r وعدد فترات التركيب في السنة n وعدد السنوات t.
- الوقت والمعدل أهم بكثير من تواتر التركيب. ويُظهر APY أو AER المعدل السنوي الحقيقي بعد احتساب التركيب.
- قاعدة 72 (72 ÷ المعدل = سنوات المضاعفة) تقدير سريع، وليست إجابة دقيقة.
- التضخم والرسوم تتراكم هي أيضًا، وكذلك الفائدة على الديون مثل بطاقات الائتمان.
الفائدة البسيطة مقابل الفائدة المركبة
مع الفائدة البسيطة تكسب المبلغ نفسه كل سنة، لأن الفائدة لا تُحسب إلا على المبلغ الأصلي: الفائدة = P × r × t. أما مع الفائدة المركبة فتُضاف الفائدة إلى الرصيد، ومن ثم تكسب فائدة خاصة بها.
لنأخذ 10,000 بفائدة 5% سنويًا. تدفع الفائدة البسيطة 500 كل سنة. وتدفع الفائدة المركبة 500 أيضًا في السنة الأولى، لكنها في السنة الثانية تدفع 5% من 10,500، أي 525، ثم 5% من 11,025، أي 551.25، وهكذا.
| 10,000 بفائدة 5% سنويًا | الفائدة البسيطة | تركيب سنوي | الفرق |
|---|---|---|---|
| بعد السنة 1 | 10,500.00 | 10,500.00 | 0.00 |
| بعد 10 سنوات | 15,000.00 | 16,288.95 | 1,288.95 |
| بعد 30 سنة | 25,000.00 | 43,219.42 | 18,219.42 |
الفجوة صغيرة في البداية ثم تتسع بسرعة. وهذا هو جوهر التركيب: فمنحنى النمو ينحني صعودًا، فتؤدي السنوات الأخيرة معظم العمل.
صيغة الفائدة المركبة
الصيغة القياسية لمبلغ واحد هي:
A = P(1 + r/n)nt
| الرمز | المعنى | مثال |
|---|---|---|
| A | المبلغ في النهاية (الرصيد شاملًا الفائدة) | ما تريد إيجاده |
| P | أصل المبلغ، أي المبلغ الذي تبدأ به | 5,000 |
| r | معدل الفائدة السنوي بصيغة عشرية | 4% = 0.04 |
| n | عدد مرات إضافة الفائدة في السنة | 12 للتركيب الشهري |
| t | عدد السنوات | 8 |
الفائدة المكتسبة هي A − P. وإذا رُكّبت الفائدة باستمرار، أي عند النهاية التي تؤول إليها n حين تنمو بلا حدود، تصبح الصيغة A = Pert، حيث e ≈ 2.71828.
مثال محلول
تودع 5,000 في حساب يدفع 4% سنويًا، تُركَّب شهريًا، لمدة 8 سنوات.
- المعدل لكل فترة: r/n = 0.04 ÷ 12 ≈ 0.003333.
- عدد الفترات: nt = 12 × 8 = 96.
- عامل النمو: (1.003333)96 ≈ 1.3764.
- A = 5,000 × 1.3764 ≈ 6,881.98، فتكون الفائدة المكتسبة نحو 1,881.98.
تقريب عامل النمو مبكرًا جدًا يجعل الجواب ينحرف ببضع وحدات، ولهذا يفيد استخدام آلة حاسبة. وتعرض حاسبة الفائدة المركبة هذه الصيغة محلولة بأرقامك أنت.
تواتر التركيب وAPY وAER وEAR
يمكن إضافة الفائدة سنويًا أو كل نصف سنة أو كل ربع سنة أو شهريًا أو يوميًا. والتركيب الأكثر تواترًا يعني أن الفائدة تبدأ بكسب فائدة أبكر، فينمو المعدل الاسمي نفسه أسرع قليلًا. فيما يلي 10,000 بفائدة 6% لمدة 10 سنوات:
| التركيب | الرصيد بعد 10 سنوات | المعدل السنوي الفعلي |
|---|---|---|
| سنوي (n = 1) | 17,908.48 | 6.000% |
| ربع سنوي (n = 4) | 18,140.18 | 6.136% |
| شهري (n = 12) | 18,193.97 | 6.168% |
| يومي (n = 365) | 18,220.29 | 6.183% |
| مستمر | 18,221.19 | 6.184% |
العمود الأخير هو المعدل السنوي الفعلي: (1 + r/n)n − 1، أو er − 1 للتركيب المستمر. وهو يدمج التركيب في رقم سنوي واحد. ويسمى في الولايات المتحدة APY (العائد السنوي بالنسبة المئوية)، وفي المملكة المتحدة AER (المعدل السنوي المكافئ)، وفي التمويل عمومًا EAR. ومقارنة حسابات الادخار بهذا الرقم تضعها على قدم المساواة، أيًّا كان جدول تركيبها.
لاحظ مدى ضآلة الفروق. فالانتقال من التركيب السنوي إلى اليومي يضيف هنا نحو 312 على مدى عشر سنوات، بينما رفع المعدل من 6% إلى 7% سيضيف أكثر من 1,700 بكثير. التواتر عامل ترجيح عند التعادل؛ والمعدل والوقت هما ما يهم.
الإيداعات المنتظمة: القيمة المستقبلية لسلسلة
يدّخر معظم الناس مبلغًا صغيرًا في كل مرة بدل دفعة واحدة. وتشكّل الإيداعات المتساوية المنفذة على فترات منتظمة دفعات دورية (annuity)، وقيمتها في النهاية هي:
FV = PMT × ((1 + i)N − 1) / i
هنا PMT هي كل إيداع، وi هي معدل الفائدة لكل فترة إيداع، وN هي عدد الإيداعات. وهذا يفترض أن كل إيداع يُدفع في نهاية فترته. وإذا دفعت في البداية، فإن كل إيداع يكسب فترة فائدة إضافية، فاضرب الناتج في (1 + i).
مثال: 200 شهريًا لمدة 30 سنة بفائدة 6% تُركَّب شهريًا. عندئذٍ i = 0.06 ÷ 12 = 0.005 وN = 360، فيكون FV = 200 × (1.005360 − 1) ÷ 0.005 ≈ 200,903.01. لقد دفعت 72,000؛ والـ 128,903.01 الأخرى فائدة. ودفع المبلغ في بداية كل شهر بدلًا من ذلك يعطي نحو 201,907.52.
وإذا كنت تدّخر شهريًا لكن الحساب يُركّب بتواتر مختلف، فحوّل المعدل أولًا إلى معدل مكافئ لكل فترة إيداع: i = (1 + r/n)n/m − 1، حيث m هو عدد الإيداعات في السنة. فعند فائدة 5% تُركَّب سنويًا مع إيداعات شهرية، i = 1.051/12 − 1 ≈ 0.4074% في الشهر.
لماذا يهم البدء مبكرًا
مدّخران يكسبان 6% تُركَّب شهريًا. المدّخر A يودع 200 شهريًا لمدة 15 سنة، ثم يتوقف ويترك المال 15 سنة أخرى. والمدّخر B ينتظر 15 سنة، ثم يودع 400 شهريًا لمدة 15 سنة. ينتهي كلاهما في الوقت نفسه.
| المبلغ المودَع | الرصيد بعد 30 سنة | |
|---|---|---|
| المدّخر A: 200 شهريًا، من السنة 1 إلى 15 | 36,000 | 142,739.27 |
| المدّخر B: 400 شهريًا، من السنة 16 إلى 30 | 72,000 | 116,327.48 |
يودع المدّخر A نصف المبلغ ومع ذلك ينتهي بأكثر، لأن ماله يتراكم لفترة أطول. هذه أرقام توضيحية بمعدل ثابت؛ أما عوائد الاستثمار الحقيقية فترتفع وتنخفض.
قاعدة 72
لتقدير المدة التي يستغرقها المال ليتضاعف، اقسم 72 على معدل الفائدة السنوي بالنسبة المئوية. فعند 6%، 72 ÷ 6 = 12 سنة. إنها اختصار ذهني وتقريب فقط. أما مدة المضاعفة الدقيقة مع التركيب السنوي فهي ln(2) ÷ ln(1 + r):
| المعدل | قاعدة 72 | الدقيقة (تركيب سنوي) | الخطأ |
|---|---|---|---|
| 2% | 36.0 سنة | 35.00 سنة | أطول بـ 1.00 سنة |
| 4% | 18.0 سنة | 17.67 سنة | أطول بـ 0.33 سنة |
| 6% | 12.0 سنة | 11.90 سنة | أطول بـ 0.10 سنة |
| 8% | 9.0 سنوات | 9.01 سنوات | أقصر بـ 0.01 سنة |
| 10% | 7.2 سنة | 7.27 سنة | أقصر بـ 0.07 سنة |
| 12% | 6.0 سنوات | 6.12 سنة | أقصر بـ 0.12 سنة |
القاعدة أدق ما تكون حول 8% وتبتعد أكثر عند المعدلات المنخفضة جدًا أو المرتفعة جدًا. وهي تعمل في الاتجاه المعاكس أيضًا: فعند تضخم 3%، تتضاعف الأسعار في نحو 72 ÷ 3 = 24 سنة (والدقيق نحو 23.45).
التضخم والعوائد الحقيقية
الرقم الأكبر ليس هو نفسه قوة شرائية أكبر. فإذا ارتفعت الأسعار، تشتري كل وحدة نقدية أقل، لذا ينبغي النظر إلى القيمة الحقيقية لرصيدك: القيمة الحقيقية = القيمة الاسمية ÷ (1 + التضخم)t.
مثال: 10,000 تنمو بمعدل 5% سنويًا لمدة 20 سنة تصبح 26,532.98. وإذا بلغ متوسط التضخم 3% سنويًا خلال تلك المدة، فإن قيمتها الحقيقية بأسعار اليوم هي 26,532.98 ÷ 1.0320 ≈ 14,690.67. ومعدل العائد الحقيقي هو (1.05 ÷ 1.03) − 1 ≈ 1.94% سنويًا، أقل قليلًا من الفرق البسيط البالغ 2 نقطة مئوية.
وعندما تكون الفائدة أقل من التضخم، تفقد المدخرات قوتها الشرائية حتى مع ارتفاع الرصيد. وتتيح لك الحاسبة إدخال معدل تضخم لعرض القيمة الحقيقية سنة بسنة.
كيف تقلّل الرسوم من أثر التركيب
تُخصم الرسوم السنوية على الصناديق والمعاشات ومنصات الاستثمار من رصيدك كل سنة، فتتراكم ضدك. وقد تقتطع رسوم تبدو ضئيلة حصة كبيرة من النمو طويل الأجل. والأرقام أدناه أمثلة توضيحية بعائد ثابت، وليست توقعًا لأي منتج حقيقي.
| 10,000 لمدة 30 سنة بعائد 7% قبل الرسوم | صافي النمو | الرصيد |
|---|---|---|
| بلا رسوم | 7.0% سنويًا | 76,122.55 |
| رسوم سنوية 0.2% | 6.8% سنويًا | 71,967.69 |
| رسوم سنوية 1% | 6.0% سنويًا | 57,434.91 |
في هذا المثال تكلّف رسوم سنوية بنسبة 1% مبلغ 18,687.64، أي نحو ربع الرصيد النهائي، مع أنها سُبع العائد السنوي فقط. وتعمل الضرائب على الفوائد أو الأرباح بطريقة مشابهة؛ وتختلف القواعد من بلد إلى آخر، فتحقق مما ينطبق عليك.
التركيب على الديون
يعمل التركيب بالقوة نفسها لصالح المقرضين. تعلن بطاقات الائتمان عادةً عن APR وتحتسب الفائدة شهريًا على الرصيد غير المسدد. فرصيد 2,000 بمعدل APR قدره 24% (2% في الشهر)، دون سداد ودون إنفاق جديد، ينمو إلى 2,000 × 1.0212 ≈ 2,536.48 في سنة، أي بمعدل فعلي نحو 26.82%. وتختلف شروط البطاقات، وبعضها يحتسب الفائدة يوميًا، لكن الدرس واحد: فسداد أكثر من الحد الأدنى يوقف تراكم الفائدة على الفائدة. ولتخطيط السداد، راجع حاسبة سداد الديون في الولايات المتحدة أو حاسبة القروض في المملكة المتحدة التي تُظهر إجمالي الفائدة التي يكلّفها قرض بمعدل ثابت.
جرّبها بأرقامك أنت
تتعامل حاسبة الفائدة المركبة مع مبلغ ابتدائي، وإيداعات شهرية أو سنوية في بداية كل فترة أو نهايتها، وأي تواتر للتركيب، وزيادات سنوية في الإيداعات، والتضخم، وتعرض مخططًا وجدولًا سنويًا والصيغة بأرقامك. وللادخار للتقاعد في الولايات المتحدة، تضيف حاسبة 401(k) مساهمة صاحب العمل وحدود الإيداع. وللتغيرات المئوية السريعة، استخدم حاسبة النسبة المئوية.
هذا الدليل معلومات عامة وليس نصيحة مالية. فالمعدلات والرسوم وقواعد الضرائب تتغير، وقد تنخفض الاستثمارات كما ترتفع.
الأسئلة الشائعة
ما صيغة الفائدة المركبة؟
A = P(1 + r/n)nt، حيث P هو المبلغ الابتدائي، وr المعدل السنوي بصيغة عشرية، وn عدد فترات التركيب في السنة، وt عدد السنوات. وللإيداعات المنتظمة أضف القيمة المستقبلية لسلسلة الدفعات، PMT × ((1 + i)N − 1) / i.
كم سينمو مبلغ 10,000 خلال 10 سنوات؟
يعتمد ذلك على المعدل. فعلى سبيل المثال، عند 5% سنويًا تُركَّب شهريًا يصبح 10,000 نحو 16,470.09؛ وعند 7% تُركَّب سنويًا يصبح نحو 19,671.51. استخدم الحاسبة لتجربة معدلك ومدتك.
ما الفرق بين APR وAPY؟
APR معدل سنوي اسمي (وقد يتضمن في القروض بعض الرسوم أيضًا)، بينما APY، ويسمى AER في المملكة المتحدة، هو المعدل السنوي الفعلي بعد التركيب. فمعدل APR بنسبة 6% يُركَّب شهريًا يعادل APY نحو 6.168%.
هل التركيب اليومي أفضل كثيرًا من الشهري؟
قليلًا فقط. فمبلغ 10,000 بفائدة 6% لمدة 10 سنوات يصبح 18,193.97 مع التركيب الشهري و18,220.29 مع التركيب اليومي، بفرق نحو 26.
ما مدى دقة قاعدة 72؟
هي قريبة عند المعدلات المعتادة: فعند 6% تعطي 12 سنة مقابل 11.90 دقيقة. وتقل دقتها عند المعدلات المنخفضة جدًا أو المرتفعة جدًا، فمثلًا 36 سنة مقابل 35.00 عند 2%.
هل تعمل الفائدة المركبة ضدي في القروض؟
نعم، عندما تُضاف الفائدة غير المسددة إلى ما تدين به، كما في بطاقات الائتمان. أما معظم القروض الشخصية والرهون العقارية بمعدل ثابت فتُسدَّد بأقساط تغطي فائدة كل شهر، فلا تتراكم الفائدة ما دمت تواظب على الدفعات.