L'interesse composto è l'interesse che si guadagna sugli interessi. Ogni volta che gli interessi vengono aggiunti al tuo capitale, il giro successivo viene calcolato sul totale più grande, quindi il denaro cresce sempre più in fretta con il passare del tempo. La formula è A = P(1 + r/n)nt: 10.000 al 5% annuo capitalizzato ogni anno diventano 16.288,95 dopo 10 anni, contro i 15.000 che si avrebbero con il solo interesse semplice. Questa guida spiega la formula simbolo per simbolo, svolge degli esempi, mostra perché la frequenza di capitalizzazione conta meno di quanto si pensi e tratta il risparmio periodico, la regola del 72, l'inflazione, i costi e i debiti.
- L'interesse semplice viene pagato solo sulla somma iniziale; l'interesse composto viene pagato anche sugli interessi già maturati.
- La formula A = P(1 + r/n)nt usa la somma iniziale P, il tasso annuo r, il numero di capitalizzazioni all'anno n e gli anni t.
- Il tempo e il tasso contano molto più della frequenza di capitalizzazione. Il rendimento annuo effettivo (APY o AER) mostra il tasso annuale reale una volta inclusa la capitalizzazione.
- La regola del 72 (72 ÷ tasso = anni per raddoppiare) è un'approssimazione rapida, non una risposta esatta.
- Anche inflazione e costi hanno un effetto composto, così come gli interessi sui debiti, per esempio quelli delle carte di credito.
Interesse semplice o interesse composto
Con l'interesse semplice guadagni ogni anno la stessa somma, perché gli interessi sono calcolati sempre e solo sull'importo iniziale: interesse = P × r × t. Con l'interesse composto gli interessi vengono aggiunti al capitale e da quel momento producono a loro volta altri interessi.
Prendi 10.000 al 5% annuo. L'interesse semplice paga 500 ogni anno. Anche l'interesse composto paga 500 il primo anno, ma il secondo anno paga il 5% di 10.500, cioè 525, poi il 5% di 11.025, cioè 551,25, e così via.
| 10.000 al 5% annuo | Interesse semplice | Capitalizzato annualmente | Differenza |
|---|---|---|---|
| Dopo 1 anno | 10.500,00 | 10.500,00 | 0,00 |
| Dopo 10 anni | 15.000,00 | 16.288,95 | 1.288,95 |
| Dopo 30 anni | 25.000,00 | 43.219,42 | 18.219,42 |
All'inizio il divario è piccolo, poi si allarga rapidamente. Questo è il senso della capitalizzazione: la curva di crescita si piega verso l'alto, quindi sono gli ultimi anni a fare la parte più grande del lavoro.
La formula dell'interesse composto
La formula standard per una somma singola è:
A = P(1 + r/n)nt
| Simbolo | Significato | Esempio |
|---|---|---|
| A | L'importo finale (capitale comprensivo degli interessi) | Ciò che vuoi trovare |
| P | Il capitale iniziale, la somma da cui parti | 5.000 |
| r | Il tasso di interesse annuo in forma decimale | 4% = 0,04 |
| n | Quante volte all'anno gli interessi vengono aggiunti | 12 se mensile |
| t | Il numero di anni | 8 |
Gli interessi maturati sono A − P. Se gli interessi sono capitalizzati in modo continuo, cioè al limite per n che cresce senza fine, la formula diventa A = Pert, dove e ≈ 2,71828.
Esempio svolto
Versi 5.000 su un conto che paga il 4% annuo, capitalizzato mensilmente, per 8 anni.
- Tasso per periodo: r/n = 0,04 ÷ 12 ≈ 0,003333.
- Numero di periodi: nt = 12 × 8 = 96.
- Fattore di crescita: (1,003333)96 ≈ 1,3764.
- A = 5.000 × 1,3764 ≈ 6.881,98, quindi gli interessi maturati sono circa 1.881,98.
Arrotondare troppo presto il fattore di crescita fa scostare la risposta di qualche unità, ed è per questo che conviene usare una calcolatrice. Il calcolatore di interesse composto mostra questa formula svolta con i tuoi numeri.
Frequenza di capitalizzazione, APY, AER ed EAR
Gli interessi possono essere aggiunti ogni anno, ogni semestre, ogni trimestre, ogni mese o ogni giorno. Una capitalizzazione più frequente significa che gli interessi iniziano a produrre interessi prima, quindi lo stesso tasso nominale cresce un po' più in fretta. Ecco 10.000 al 6% per 10 anni:
| Capitalizzazione | Capitale dopo 10 anni | Tasso annuo effettivo |
|---|---|---|
| Annuale (n = 1) | 17.908,48 | 6,000% |
| Trimestrale (n = 4) | 18.140,18 | 6,136% |
| Mensile (n = 12) | 18.193,97 | 6,168% |
| Giornaliera (n = 365) | 18.220,29 | 6,183% |
| Continua | 18.221,19 | 6,184% |
L'ultima colonna è il tasso annuo effettivo: (1 + r/n)n − 1, oppure er − 1 per la capitalizzazione continua. Riassume la capitalizzazione in un'unica cifra annuale. Negli Stati Uniti si chiama APY (annual percentage yield), nel Regno Unito AER (annual equivalent rate) e in finanza in generale EAR. Confrontare i conti di risparmio su questa cifra li mette sullo stesso piano, qualunque sia il loro calendario di capitalizzazione.
Nota quanto sono piccole le differenze. Passare dalla capitalizzazione annuale a quella giornaliera aggiunge qui circa 312 in dieci anni, mentre alzare il tasso dal 6% al 7% ne aggiungerebbe ben oltre 1.700. La frequenza serve a decidere a parità di condizioni; ciò che conta sono il tasso e il tempo.
Versamenti periodici: il valore futuro di una serie
La maggior parte delle persone risparmia a poco a poco invece di versare una somma unica. Versamenti uguali effettuati a intervalli regolari formano una rendita, e il loro valore finale è:
FV = PMT × ((1 + i)N − 1) / i
Qui PMT è ogni versamento, i è il tasso di interesse per periodo di versamento e N è il numero di versamenti. Si presume che ogni versamento sia fatto alla fine del suo periodo. Se paghi all'inizio, ogni versamento matura un periodo di interessi in più, quindi moltiplica il risultato per (1 + i).
Esempio: 200 al mese per 30 anni al 6% capitalizzato mensilmente. Allora i = 0,06 ÷ 12 = 0,005 e N = 360, quindi FV = 200 × (1,005360 − 1) ÷ 0,005 ≈ 200.903,01. Hai versato 72.000; gli altri 128.903,01 sono interessi. Pagando invece all'inizio di ogni mese si ottengono circa 201.907,52.
Se risparmi ogni mese ma il conto capitalizza con una frequenza diversa, converti prima il tasso in un tasso equivalente per periodo di versamento: i = (1 + r/n)n/m − 1, dove m è il numero di versamenti all'anno. Per il 5% capitalizzato annualmente con versamenti mensili, i = 1,051/12 − 1 ≈ 0,4074% al mese.
Perché iniziare presto conta
Due risparmiatori ottengono il 6% capitalizzato mensilmente. Il risparmiatore A versa 200 al mese per 15 anni, poi smette e lascia i soldi fermi per altri 15 anni. Il risparmiatore B aspetta 15 anni, poi versa 400 al mese per 15 anni. Entrambi finiscono nello stesso momento.
| Versato | Capitale dopo 30 anni | |
|---|---|---|
| Risparmiatore A: 200 al mese, anni da 1 a 15 | 36.000 | 142.739,27 |
| Risparmiatore B: 400 al mese, anni da 16 a 30 | 72.000 | 116.327,48 |
Il risparmiatore A versa la metà e ottiene comunque di più, perché il suo denaro si capitalizza più a lungo. Sono cifre a scopo illustrativo con un tasso costante; i rendimenti reali degli investimenti salgono e scendono.
La regola del 72
Per stimare quanto tempo ci mette il denaro a raddoppiare, dividi 72 per il tasso di interesse annuo in percentuale. Al 6%, 72 ÷ 6 = 12 anni. È una scorciatoia mentale e solo un'approssimazione. Il tempo di raddoppio esatto con capitalizzazione annuale è ln(2) ÷ ln(1 + r):
| Tasso | Regola del 72 | Esatto (capitalizzazione annuale) | Errore |
|---|---|---|---|
| 2% | 36,0 anni | 35,00 anni | 1,00 anno in eccesso |
| 4% | 18,0 anni | 17,67 anni | 0,33 anni in eccesso |
| 6% | 12,0 anni | 11,90 anni | 0,10 anni in eccesso |
| 8% | 9,0 anni | 9,01 anni | 0,01 anni in difetto |
| 10% | 7,2 anni | 7,27 anni | 0,07 anni in difetto |
| 12% | 6,0 anni | 6,12 anni | 0,12 anni in difetto |
La regola è più precisa intorno all'8% e si allontana di più con tassi molto bassi o molto alti. Funziona anche al contrario: con un'inflazione del 3%, i prezzi raddoppiano in circa 72 ÷ 3 = 24 anni (esattamente circa 23,45).
Inflazione e rendimenti reali
Un numero più grande non equivale a un maggiore potere d'acquisto. Se i prezzi salgono, ogni unità di denaro compra meno, quindi occorre guardare al valore reale del tuo capitale: valore reale = valore nominale ÷ (1 + inflazione)t.
Esempio: 10.000 che crescono del 5% annuo per 20 anni diventano 26.532,98. Se in quel periodo l'inflazione media è del 3% annuo, il loro valore reale ai prezzi di oggi è 26.532,98 ÷ 1,0320 ≈ 14.690,67. Il tasso di rendimento reale è (1,05 ÷ 1,03) − 1 ≈ 1,94% annuo, un po' meno della semplice differenza di 2 punti percentuali.
Quando l'interesse è inferiore all'inflazione, i risparmi perdono potere d'acquisto anche se il capitale aumenta. Il calcolatore ti permette di inserire un tasso di inflazione per mostrare il valore reale anno per anno.
Come i costi riducono la capitalizzazione
I costi annuali di fondi, pensioni e piattaforme di investimento vengono detratti ogni anno dal tuo capitale, quindi il loro effetto composto lavora contro di te. Un costo che sembra minuscolo può portarsi via una quota consistente della crescita a lungo termine. Le cifre qui sotto sono esempi illustrativi con un rendimento costante, non una previsione per un prodotto reale.
| 10.000 per 30 anni al 7% prima dei costi | Crescita netta | Capitale |
|---|---|---|
| Nessun costo | 7,0% annuo | 76.122,55 |
| Costo annuo dello 0,2% | 6,8% annuo | 71.967,69 |
| Costo annuo dell'1% | 6,0% annuo | 57.434,91 |
In questo esempio un costo annuo dell'1% costa 18.687,64, circa un quarto del capitale finale, anche se è solo un settimo del rendimento annuo. Le imposte su interessi o plusvalenze funzionano in modo simile; le regole cambiano da un paese all'altro, quindi verifica quelle che valgono per te.
La capitalizzazione sui debiti
La capitalizzazione lavora con la stessa forza per chi presta denaro. Le carte di credito di solito indicano un TAN e addebitano interessi ogni mese sul saldo non pagato. Un saldo di 2.000 con un TAN del 24% (2% al mese), senza pagamenti e senza nuove spese, cresce in un anno fino a 2.000 × 1,0212 ≈ 2.536,48, con un tasso effettivo di circa il 26,82%. Le condizioni delle carte variano e alcune addebitano interessi ogni giorno, ma la lezione è la stessa: pagare più del minimo impedisce che gli interessi si accumulino sugli interessi. Per pianificare i rimborsi, vedi il calcolatore di estinzione debiti USA o il calcolatore di prestiti UK, che mostra quanto costa in totale di interessi un prestito a tasso fisso.
Provalo con i tuoi numeri
Il calcolatore di interesse composto gestisce una somma iniziale, versamenti mensili o annuali all'inizio o alla fine di ogni periodo, qualsiasi frequenza di capitalizzazione, aumenti annuali dei versamenti e inflazione, e mostra un grafico, una tabella annuale e la formula con le tue cifre. Per il risparmio previdenziale negli Stati Uniti, il calcolatore 401(k) aggiunge il contributo del datore di lavoro e i limiti di versamento. Per le variazioni percentuali rapide, usa la calcolatrice percentuale.
Questa guida contiene informazioni generali, non consulenza finanziaria. Tassi, costi e regole fiscali cambiano, e gli investimenti possono scendere oltre che salire.
Domande frequenti
Qual è la formula dell'interesse composto?
A = P(1 + r/n)nt, dove P è la somma iniziale, r il tasso annuo in forma decimale, n il numero di capitalizzazioni all'anno e t il numero di anni. Per i versamenti periodici si aggiunge il valore futuro di una serie, PMT × ((1 + i)N − 1) / i.
Quanto crescono 10.000 in 10 anni?
Dipende dal tasso. A titolo di esempio, al 5% annuo capitalizzato mensilmente 10.000 diventano circa 16.470,09; al 7% capitalizzato annualmente diventano circa 19.671,51. Usa il calcolatore per provare il tuo tasso e la tua durata.
Che differenza c'è tra TAN e rendimento annuo effettivo (APY)?
Il TAN (in inglese APR) è un tasso annuo nominale (per i prestiti può includere anche alcuni costi), mentre l'APY, chiamato AER nel Regno Unito, è il tasso annuo effettivo dopo la capitalizzazione. Un 6% nominale capitalizzato mensilmente corrisponde a un APY di circa il 6,168%.
La capitalizzazione giornaliera è molto meglio di quella mensile?
Solo di poco. 10.000 al 6% per 10 anni diventano 18.193,97 con la capitalizzazione mensile e 18.220,29 con quella giornaliera, una differenza di circa 26.
Quanto è precisa la regola del 72?
È vicina al valore reale per i tassi tipici: al 6% indica 12 anni contro gli 11,90 esatti. È meno precisa con tassi molto bassi o molto alti, per esempio 36 anni contro 35,00 al 2%.
L'interesse composto lavora contro di me sui prestiti?
Sì, quando gli interessi non pagati vengono aggiunti a ciò che devi, come nelle carte di credito. La maggior parte dei prestiti personali e dei mutui a tasso fisso viene rimborsata con rate che coprono gli interessi di ogni mese, quindi gli interessi non si accumulano finché paghi regolarmente le rate.