Les intérêts composés sont des intérêts qui rapportent eux-mêmes des intérêts. Chaque fois que des intérêts sont ajoutés à votre solde, les intérêts suivants sont calculés sur un total plus élevé, si bien que l’argent croît de plus en plus vite avec le temps. La formule est A = P(1 + r/n)nt : 10 000 à 5 % par an, capitalisés chaque année, deviennent 16 288,95 au bout de 10 ans, contre 15 000 si seuls des intérêts simples étaient versés. Ce guide explique la formule symbole par symbole, déroule des exemples, montre pourquoi la fréquence de capitalisation compte moins qu’on ne le croit, et aborde l’épargne régulière, la règle de 72, l’inflation, les frais et la dette.
- Les intérêts simples ne sont versés que sur le montant initial ; les intérêts composés le sont aussi sur les intérêts déjà gagnés.
- La formule A = P(1 + r/n)nt utilise le montant de départ P, le taux annuel r, le nombre de périodes de capitalisation par an n et le nombre d’années t.
- Le temps et le taux comptent bien plus que la fréquence de capitalisation. Le rendement annuel effectif (APY ou AER) indique le vrai taux annuel une fois la capitalisation incluse.
- La règle de 72 (72 ÷ taux = années pour doubler) est une approximation rapide, pas une réponse exacte.
- L’inflation et les frais ont eux aussi un effet composé, tout comme les intérêts d’une dette, par exemple d’une carte de crédit.
Intérêts simples et intérêts composés
Avec les intérêts simples, vous gagnez le même montant chaque année, car les intérêts ne sont jamais calculés que sur la somme initiale : intérêts = P × r × t. Avec les intérêts composés, les intérêts sont ajoutés au solde et rapportent ensuite eux-mêmes des intérêts.
Prenons 10 000 à 5 % par an. Les intérêts simples rapportent 500 chaque année. Les intérêts composés rapportent aussi 500 la première année, mais la deuxième année ils rapportent 5 % de 10 500, soit 525, puis 5 % de 11 025, soit 551,25, et ainsi de suite.
| 10 000 à 5 % par an | Intérêts simples | Capitalisés chaque année | Différence |
|---|---|---|---|
| Après 1 an | 10 500,00 | 10 500,00 | 0,00 |
| Après 10 ans | 15 000,00 | 16 288,95 | 1 288,95 |
| Après 30 ans | 25 000,00 | 43 219,42 | 18 219,42 |
L’écart est faible au début, puis se creuse rapidement. C’est tout l’intérêt de la capitalisation : la courbe de croissance s’incurve vers le haut, et ce sont les dernières années qui font l’essentiel du travail.
La formule des intérêts composés
La formule standard pour une somme unique est :
A = P(1 + r/n)nt
| Symbole | Signification | Exemple |
|---|---|---|
| A | Le montant final (solde intérêts compris) | Ce que vous cherchez |
| P | Le capital, la somme de départ | 5 000 |
| r | Le taux d’intérêt annuel sous forme décimale | 4 % = 0,04 |
| n | Le nombre de fois par an où les intérêts sont ajoutés | 12 pour une capitalisation mensuelle |
| t | Le nombre d’années | 8 |
Les intérêts gagnés valent A − P. Si les intérêts sont capitalisés en continu, c’est-à-dire à la limite où n croît indéfiniment, la formule devient A = Pert, où e ≈ 2,71828.
Exemple détaillé
Vous placez 5 000 sur un compte à 4 % par an, capitalisés chaque mois, pendant 8 ans.
- Taux par période : r/n = 0,04 ÷ 12 ≈ 0,003333.
- Nombre de périodes : nt = 12 × 8 = 96.
- Facteur de croissance : (1,003333)96 ≈ 1,3764.
- A = 5 000 × 1,3764 ≈ 6 881,98, donc les intérêts gagnés sont d’environ 1 881,98.
Arrondir trop tôt le facteur de croissance fait dériver la réponse de quelques unités, c’est pourquoi il vaut mieux utiliser une calculatrice. Le calculateur d’intérêts composés déroule cette formule avec vos propres chiffres.
Fréquence de capitalisation, APY, AER et EAR
Les intérêts peuvent être ajoutés chaque année, chaque semestre, chaque trimestre, chaque mois ou chaque jour. Une capitalisation plus fréquente signifie que les intérêts commencent plus tôt à rapporter des intérêts, si bien que le même taux nominal croît un peu plus vite. Voici 10 000 à 6 % pendant 10 ans :
| Capitalisation | Solde après 10 ans | Taux annuel effectif |
|---|---|---|
| Annuelle (n = 1) | 17 908,48 | 6,000 % |
| Trimestrielle (n = 4) | 18 140,18 | 6,136 % |
| Mensuelle (n = 12) | 18 193,97 | 6,168 % |
| Quotidienne (n = 365) | 18 220,29 | 6,183 % |
| En continu | 18 221,19 | 6,184 % |
La dernière colonne est le taux annuel effectif : (1 + r/n)n − 1, ou er − 1 pour la capitalisation continue. Il intègre la capitalisation dans un seul chiffre annuel. Aux États-Unis, on l’appelle l’APY (annual percentage yield), au Royaume-Uni l’AER (annual equivalent rate), et en finance en général l’EAR. Comparer des comptes d’épargne sur ce chiffre les met sur un pied d’égalité, quel que soit leur calendrier de capitalisation.
Remarquez combien les écarts sont faibles. Passer d’une capitalisation annuelle à une capitalisation quotidienne ajoute ici environ 312 en dix ans, alors que faire passer le taux de 6 % à 7 % ajouterait bien plus de 1 700. La fréquence sert à départager ; ce sont le taux et la durée qui comptent.
Versements réguliers : la valeur future d’une série
La plupart des gens épargnent petit à petit plutôt qu’en une seule fois. Des versements égaux effectués à intervalles réguliers forment une annuité, et leur valeur finale est :
FV = PMT × ((1 + i)N − 1) / i
Ici, PMT est chaque versement, i le taux d’intérêt par période de versement et N le nombre de versements. Cela suppose que chaque versement est effectué à la fin de sa période. Si vous versez au début, chaque versement rapporte une période d’intérêts de plus, il faut donc multiplier le résultat par (1 + i).
Exemple : 200 par mois pendant 30 ans à 6 %, capitalisés chaque mois. Alors i = 0,06 ÷ 12 = 0,005 et N = 360, donc FV = 200 × (1,005360 − 1) ÷ 0,005 ≈ 200 903,01. Vous avez versé 72 000 ; les 128 903,01 restants sont des intérêts. Verser au début de chaque mois donne environ 201 907,52.
Si vous épargnez chaque mois mais que le compte capitalise à une autre fréquence, convertissez d’abord le taux en un taux équivalent par période de versement : i = (1 + r/n)n/m − 1, où m est le nombre de versements par an. Pour 5 % capitalisés chaque année avec des versements mensuels, i = 1,051/12 − 1 ≈ 0,4074 % par mois.
Pourquoi il faut commencer tôt
Deux épargnants gagnent 6 %, capitalisés chaque mois. L’épargnant A verse 200 par mois pendant 15 ans, puis s’arrête et laisse l’argent fructifier encore 15 ans. L’épargnant B attend 15 ans, puis verse 400 par mois pendant 15 ans. Les deux terminent en même temps.
| Versé | Solde après 30 ans | |
|---|---|---|
| Épargnant A : 200 par mois, années 1 à 15 | 36 000 | 142 739,27 |
| Épargnant B : 400 par mois, années 16 à 30 | 72 000 | 116 327,48 |
L’épargnant A verse moitié moins et finit pourtant avec davantage, parce que son argent est capitalisé plus longtemps. Ces chiffres sont donnés à titre d’illustration avec un taux constant ; les rendements réels des placements montent et descendent.
La règle de 72
Pour estimer le temps qu’il faut à un capital pour doubler, divisez 72 par le taux d’intérêt annuel en pourcentage. À 6 %, 72 ÷ 6 = 12 ans. C’est un raccourci mental et seulement une approximation. Le temps de doublement exact avec une capitalisation annuelle est ln(2) ÷ ln(1 + r) :
| Taux | Règle de 72 | Exact (capitalisation annuelle) | Écart |
|---|---|---|---|
| 2 % | 36,0 ans | 35,00 ans | 1,00 an de trop |
| 4 % | 18,0 ans | 17,67 ans | 0,33 an de trop |
| 6 % | 12,0 ans | 11,90 ans | 0,10 an de trop |
| 8 % | 9,0 ans | 9,01 ans | 0,01 an de moins |
| 10 % | 7,2 ans | 7,27 ans | 0,07 an de moins |
| 12 % | 6,0 ans | 6,12 ans | 0,12 an de moins |
La règle est la plus précise autour de 8 % et s’écarte davantage pour des taux très bas ou très élevés. Elle fonctionne aussi dans l’autre sens : avec 3 % d’inflation, les prix doublent en environ 72 ÷ 3 = 24 ans (exactement environ 23,45).
Inflation et rendements réels
Un nombre plus grand n’est pas synonyme de pouvoir d’achat plus grand. Si les prix augmentent, chaque unité monétaire achète moins, il faut donc regarder la valeur réelle de votre solde : valeur réelle = valeur nominale ÷ (1 + inflation)t.
Exemple : 10 000 qui croissent de 5 % par an pendant 20 ans deviennent 26 532,98. Si l’inflation atteint en moyenne 3 % par an sur cette période, leur valeur réelle aux prix d’aujourd’hui est de 26 532,98 ÷ 1,0320 ≈ 14 690,67. Le taux de rendement réel est de (1,05 ÷ 1,03) − 1 ≈ 1,94 % par an, un peu moins que la simple différence de 2 points de pourcentage.
Quand les intérêts sont inférieurs à l’inflation, l’épargne perd du pouvoir d’achat même si le solde augmente. Le calculateur vous permet de saisir un taux d’inflation pour afficher la valeur réelle année après année.
Comment les frais réduisent la capitalisation
Les frais annuels des fonds, des plans d’épargne retraite et des plateformes d’investissement sont prélevés sur votre solde chaque année, leur effet se cumule donc contre vous. Des frais qui semblent minuscules peuvent engloutir une grande part de la croissance à long terme. Les chiffres ci-dessous sont des exemples illustratifs avec un rendement constant, pas une prévision pour un produit réel.
| 10 000 pendant 30 ans à 7 % avant frais | Croissance nette | Solde |
|---|---|---|
| Sans frais | 7,0 % par an | 76 122,55 |
| Frais annuels de 0,2 % | 6,8 % par an | 71 967,69 |
| Frais annuels de 1 % | 6,0 % par an | 57 434,91 |
Dans cet exemple, des frais annuels de 1 % coûtent 18 687,64, soit environ un quart du solde final, alors qu’ils ne représentent qu’un septième du rendement annuel. Les impôts sur les intérêts ou les plus-values fonctionnent de façon similaire ; les règles diffèrent d’un pays à l’autre, vérifiez donc celles qui s’appliquent à vous.
La capitalisation sur une dette
La capitalisation joue tout autant en faveur des prêteurs. Les cartes de crédit indiquent généralement un taux annuel (APR) et facturent des intérêts chaque mois sur le solde impayé. Un solde de 2 000 à 24 % d’APR (2 % par mois), sans aucun paiement ni nouvelle dépense, atteint 2 000 × 1,0212 ≈ 2 536,48 en un an, soit un taux effectif d’environ 26,82 %. Les conditions des cartes varient, et certaines facturent des intérêts chaque jour, mais la leçon est la même : payer plus que le minimum empêche les intérêts de s’accumuler sur les intérêts. Pour planifier vos remboursements, consultez le calculateur de remboursement de dettes ou le calculateur de prêt, qui montre combien d’intérêts coûte au total un prêt à taux fixe.
Essayez avec vos propres chiffres
Le calculateur d’intérêts composés gère un montant initial, des versements mensuels ou annuels au début ou à la fin de chaque période, toute fréquence de capitalisation, des hausses annuelles des versements et l’inflation, et affiche un graphique, un tableau annuel et la formule avec vos chiffres. Pour l’épargne retraite aux États-Unis, le calculateur 401(k) ajoute l’abondement de l’employeur et les plafonds de versement. Pour calculer rapidement des variations en pourcentage, utilisez le calcul de pourcentage.
Ce guide donne des informations générales, pas des conseils financiers. Les taux, les frais et les règles fiscales changent, et les placements peuvent baisser comme monter.
Questions fréquentes
Quelle est la formule des intérêts composés ?
A = P(1 + r/n)nt, où P est le montant de départ, r le taux annuel sous forme décimale, n le nombre de périodes de capitalisation par an et t le nombre d’années. Pour des versements réguliers, ajoutez la valeur future d’une série, PMT × ((1 + i)N − 1) / i.
Combien rapportent 10 000 placés pendant 10 ans ?
Cela dépend du taux. À titre d’exemple, à 5 % par an capitalisés chaque mois, 10 000 deviennent environ 16 470,09 ; à 7 % capitalisés chaque année, ils deviennent environ 19 671,51. Utilisez le calculateur pour essayer votre propre taux et votre propre durée.
Quelle est la différence entre l’APR et l’APY ?
L’APR est un taux annuel nominal (pour les prêts, il peut aussi inclure certains frais), tandis que l’APY, appelé AER au Royaume-Uni, est le taux annuel effectif après capitalisation. Un APR de 6 % capitalisé chaque mois correspond à un APY d’environ 6,168 %.
La capitalisation quotidienne est-elle bien meilleure que la mensuelle ?
Seulement un peu. 10 000 à 6 % pendant 10 ans deviennent 18 193,97 avec une capitalisation mensuelle et 18 220,29 avec une capitalisation quotidienne, soit une différence d’environ 26.
Quelle est la précision de la règle de 72 ?
Elle est proche pour les taux courants : à 6 %, elle donne 12 ans contre 11,90 exactement. Elle est moins précise pour des taux très bas ou très élevés, par exemple 36 ans contre 35,00 à 2 %.
Les intérêts composés jouent-ils contre moi sur les prêts ?
Oui, lorsque des intérêts impayés sont ajoutés à ce que vous devez, comme sur les cartes de crédit. La plupart des prêts personnels à taux fixe et des prêts immobiliers sont remboursés par des mensualités qui couvrent les intérêts de chaque mois, les intérêts ne s’accumulent donc pas tant que vous maintenez les paiements.