Сложные проценты: формула и примеры расчёта

Сложные проценты — это проценты на проценты. Каждый раз, когда начисленные проценты добавляются к вашему балансу, следующее начисление считается уже от большей суммы, поэтому деньги со временем растут всё быстрее. Формула выглядит так: A = P(1 + r/n)^nt. Например, 10 000 под 5% годовых с ежегодной капитализацией через 10 лет превращаются в 16 288,95, тогда как при простых процентах было бы 15 000. В этом руководстве формула разобрана по символам, приведены примеры, показано, почему частота капитализации важна меньше, чем думают, и рассказано о регулярных накоплениях, правиле 72, инфляции, комиссиях и долгах.

Простые и сложные проценты

При простых процентах вы получаете одну и ту же сумму каждый год, потому что проценты всегда считаются только от первоначальной суммы: проценты = P × r × t. При сложных процентах проценты добавляются к балансу, и с этого момента на них тоже начисляются проценты.

Возьмём 10 000 под 5% годовых. Простые проценты приносят 500 каждый год. Сложные проценты в первый год тоже дают 500, но во второй год это уже 5% от 10 500, то есть 525, затем 5% от 11 025, то есть 551,25, и так далее.

Сначала разрыв невелик, а затем быстро увеличивается. В этом и состоит смысл капитализации: кривая роста изгибается вверх, и основную работу делают последние годы.

Формула сложных процентов

Стандартная формула для единовременной суммы:

A = P(1 + r/n)^nt

Заработанные проценты равны A − P. Если проценты капитализируются непрерывно (предел, когда n неограниченно растёт), формула принимает вид A = Pe^rt, где e ≈ 2,71828.

Пример расчёта

Вы кладёте 5 000 на счёт под 4% годовых с ежемесячной капитализацией на 8 лет.

1. Ставка за период: r/n = 0,04 ÷ 12 ≈ 0,003333.
2. Число периодов: nt = 12 × 8 = 96.
3. Коэффициент роста: (1,003333)⁹⁶ ≈ 1,3764.
4. A = 5 000 × 1,3764 ≈ 6 881,98, то есть заработанные проценты составляют около 1 881,98.

Если слишком рано округлить коэффициент роста, ответ сдвинется на несколько единиц, поэтому лучше пользоваться калькулятором. Калькулятор сложных процентов покажет расчёт по этой формуле с вашими числами.

Частота капитализации, APY, AER и EAR

Проценты можно добавлять раз в год, раз в полгода, раз в квартал, раз в месяц или ежедневно. Чем чаще капитализация, тем раньше проценты начинают приносить проценты, поэтому при той же номинальной ставке деньги растут чуть быстрее. Вот 10 000 под 6% на 10 лет:

Последний столбец — это эффективная годовая ставка: (1 + r/n)ⁿ − 1, а при непрерывной капитализации e^r − 1. Она сводит капитализацию к одной годовой цифре. В США её называют APY (annual percentage yield, годовая процентная доходность), в Великобритании — AER (annual equivalent rate, эквивалентная годовая ставка), а в финансах в целом — EAR. Сравнение сберегательных счетов по этому показателю ставит их в равные условия независимо от графика капитализации.

Обратите внимание, как малы различия. Переход от ежегодной капитализации к ежедневной добавляет здесь около 312 за десять лет, а повышение ставки с 6% до 7% добавило бы значительно больше 1 700. Частота капитализации важна лишь при прочих равных; решают ставка и время.

Регулярные взносы: будущая стоимость серии платежей

Большинство людей копят понемногу, а не единой суммой. Равные взносы через равные промежутки образуют аннуитет, и их стоимость в конце равна:

FV = PMT × ((1 + i)^N − 1) / i

Здесь PMT — каждый взнос, i — процентная ставка за период взноса, N — число взносов. Предполагается, что каждый взнос вносится в конце своего периода. Если вы платите в начале, каждый взнос зарабатывает проценты за один лишний период, поэтому результат нужно умножить на (1 + i).

Пример: 200 в месяц в течение 30 лет под 6% с ежемесячной капитализацией. Тогда i = 0,06 ÷ 12 = 0,005 и N = 360, поэтому FV = 200 × (1,005³⁶⁰ − 1) ÷ 0,005 ≈ 200 903,01. Вы внесли 72 000; остальные 128 903,01 — это проценты. Если вносить в начале каждого месяца, получится около 201 907,52.

Если вы откладываете ежемесячно, а счёт капитализируется с другой частотой, сначала переведите ставку в эквивалентную ставку за период взноса: i = (1 + r/n)^n/m − 1, где m — число взносов в год. Для 5% с ежегодной капитализацией и ежемесячными взносами i = 1,05^1/12 − 1 ≈ 0,4074% в месяц.

Почему важно начинать рано

Два вкладчика получают 6% с ежемесячной капитализацией. Вкладчик A вносит 200 в месяц в течение 15 лет, затем прекращает и оставляет деньги ещё на 15 лет. Вкладчик B ждёт 15 лет, а затем вносит по 400 в месяц в течение 15 лет. Заканчивают оба одновременно.

Вкладчик A вносит вдвое меньше, а в итоге получает больше, потому что его деньги капитализируются дольше. Это иллюстративные цифры при постоянной ставке; реальная доходность инвестиций то растёт, то падает.

Правило 72

Чтобы оценить, за сколько времени деньги удвоятся, разделите 72 на годовую процентную ставку в процентах. При 6%: 72 ÷ 6 = 12 лет. Это приём для подсчёта в уме и лишь приближение. Точное время удвоения при ежегодной капитализации равно ln(2) ÷ ln(1 + r):

Правило точнее всего около 8% и всё сильнее расходится с реальностью при очень низких или очень высоких ставках. Работает оно и в обратную сторону: при инфляции 3% цены удваиваются примерно за 72 ÷ 3 = 24 года (точно около 23,45).

Инфляция и реальная доходность

Большее число — это не то же самое, что большая покупательная способность. Если цены растут, каждая денежная единица покупает меньше, поэтому нужно смотреть на реальную стоимость баланса: реальная стоимость = номинальная стоимость ÷ (1 + инфляция)^t.

Пример: 10 000, растущие на 5% в год в течение 20 лет, превращаются в 26 532,98. Если инфляция за это время в среднем составляет 3% в год, реальная стоимость этой суммы в сегодняшних ценах равна 26 532,98 ÷ 1,03²⁰ ≈ 14 690,67. Реальная доходность составляет (1,05 ÷ 1,03) − 1 ≈ 1,94% в год, чуть меньше простой разницы в 2 процентных пункта.

Когда проценты ниже инфляции, сбережения теряют покупательную способность, даже если баланс растёт. В калькуляторе можно указать инфляцию, чтобы увидеть реальную стоимость по годам.

Как комиссии уменьшают капитализацию

Ежегодные комиссии фондов, пенсионных планов и инвестиционных платформ списываются с вашего баланса каждый год, поэтому они капитализируются против вас. Комиссия, которая кажется крошечной, может забрать значительную долю долгосрочного роста. Приведённые ниже цифры — иллюстративные примеры при постоянной доходности, а не прогноз для какого-либо реального продукта.

В этом примере годовая комиссия 1% обходится в 18 687,64, около четверти итогового баланса, хотя это всего одна седьмая годовой доходности. Налоги на проценты или прирост капитала действуют похожим образом; правила в разных странах отличаются, поэтому уточните те, что применимы к вам.

Капитализация по долгам

Капитализация работает так же усердно и на кредиторов. По кредитным картам обычно указывают APR, а проценты начисляют ежемесячно на непогашенный остаток. Остаток 2 000 при 24% APR (2% в месяц), без платежей и новых трат, за год вырастает до 2 000 × 1,02¹² ≈ 2 536,48, то есть эффективная ставка составляет около 26,82%. Условия карт различаются, и некоторые начисляют проценты ежедневно, но вывод тот же: если платить больше минимального платежа, проценты перестают накапливаться на проценты. Чтобы спланировать погашение, воспользуйтесь калькулятором погашения долгов США или кредитным калькулятором UK, который показывает, сколько всего процентов стоит кредит с фиксированной ставкой.

Попробуйте со своими числами

Калькулятор сложных процентов работает с начальной суммой, ежемесячными или ежегодными взносами в начале или конце каждого периода, любой частотой капитализации, ежегодным увеличением взносов и инфляцией, а также показывает график, таблицу по годам и формулу с вашими цифрами. Для накоплений на пенсию в США калькулятор 401(k) добавляет взносы работодателя и лимиты взносов. Для быстрых расчётов процентных изменений используйте калькулятор процентов.

Это руководство — общая информация, а не финансовая консультация. Ставки, комиссии и налоговые правила меняются, а стоимость инвестиций может как расти, так и падать.

Часто задаваемые вопросы

Какова формула сложных процентов?

A = P(1 + r/n)^nt, где P — начальная сумма, r — годовая ставка в виде десятичной дроби, n — число периодов капитализации в году, t — число лет. Для регулярных взносов добавьте будущую стоимость серии платежей: PMT × ((1 + i)^N − 1) / i.

Сколько вырастут 10 000 за 10 лет?

Это зависит от ставки. Например, при 5% годовых с ежемесячной капитализацией 10 000 превращаются примерно в 16 470,09; при 7% с ежегодной капитализацией — примерно в 19 671,51. Подставьте в калькулятор свою ставку и срок.

Чем отличаются APR и APY?

APR — это номинальная годовая ставка (для кредитов она может включать и некоторые комиссии), а APY, в Великобритании называемая AER, — эффективная годовая ставка после капитализации. 6% APR с ежемесячной капитализацией дают APY примерно 6,168%.

Намного ли ежедневная капитализация лучше ежемесячной?

Лишь немного. 10 000 под 6% на 10 лет превращаются в 18 193,97 при ежемесячной капитализации и в 18 220,29 при ежедневной, то есть разница составляет около 26.

Насколько точно правило 72?

Для типичных ставок оно довольно близко: при 6% оно даёт 12 лет против точных 11,90. При очень низких или очень высоких ставках оно менее точно, например 36 лет против 35,00 при 2%.

Работают ли сложные проценты против меня по кредитам?

Да, если неоплаченные проценты добавляются к тому, что вы должны, как по кредитным картам. Большинство потребительских кредитов и ипотек с фиксированной ставкой погашаются платежами, которые покрывают проценты каждого месяца, поэтому проценты не накапливаются, пока вы вносите платежи.