复利就是利息再生利息。每当利息计入本金，下一轮利息就在更大的总额上计算，因此资金随时间增长得越来越快。公式为 A = P(1 + r/n)nt：10,000 按年利率 5% 每年复利一次，10 年后变为 16,288.95，而如果只付单利，则是 15,000。本指南逐个符号讲解公式，演算实例，说明为什么复利频率的影响比人们以为的小，并涵盖定期储蓄、72 法则、通货膨胀、费用和债务。
- 单利只按原始本金计息；复利还会对已经赚取的利息计息。
- 公式 A = P(1 + r/n)nt 使用起始金额 P、年利率 r、每年复利期数 n 和年数 t。
- 时间和利率的影响远大于复利频率。APY 或 AER 显示计入复利之后的真实年利率。
- 72 法则（72 ÷ 利率 = 翻倍所需年数）是快速的近似算法，并非精确答案。
- 通货膨胀和费用同样会复利累积，信用卡等债务的利息也一样。
单利与复利
采用单利时，每年赚到的金额都相同，因为利息始终只按原始本金计算：利息 = P × r × t。采用复利时，利息会计入余额，从此开始自己也产生利息。
以 10,000、年利率 5% 为例。单利每年支付 500。复利第一年同样支付 500，但第二年支付 10,500 的 5%，即 525，接着是 11,025 的 5%，即 551.25，依此类推。
| 10,000，年利率 5% | 单利 | 按年复利 | 差额 |
|---|---|---|---|
| 1 年后 | 10,500.00 | 10,500.00 | 0.00 |
| 10 年后 | 15,000.00 | 16,288.95 | 1,288.95 |
| 30 年后 | 25,000.00 | 43,219.42 | 18,219.42 |
差距起初很小，随后迅速拉大。这正是复利的意义所在：增长曲线向上弯曲，后面的年份贡献了大部分增长。
复利公式
单笔资金的标准公式为：
A = P(1 + r/n)nt
| 符号 | 含义 | 示例 |
|---|---|---|
| A | 期末金额（含利息的余额） | 要求的结果 |
| P | 本金，即起始金额 | 5,000 |
| r | 以小数表示的年利率 | 4% = 0.04 |
| n | 每年计息的次数 | 按月为 12 |
| t | 年数 | 8 |
所赚取的利息为 A − P。如果是连续复利，即 n 无限增大时的极限，公式变为 A = Pert，其中 e ≈ 2.71828。
计算实例
您把 5,000 存入年利率 4%、按月复利的账户，存期 8 年。
- 每期利率：r/n = 0.04 ÷ 12 ≈ 0.003333。
- 期数：nt = 12 × 8 = 96。
- 增长系数：(1.003333)96 ≈ 1.3764。
- A = 5,000 × 1.3764 ≈ 6,881.98，因此所赚利息约为 1,881.98。
过早对增长系数四舍五入，会让答案出现几个单位的偏差，所以最好使用计算器。复利计算器会用您自己的数字演示这个公式的计算过程。
复利频率、APY、AER 与 EAR
利息可以按年、半年、季度、月或日计入。复利越频繁，利息就越早开始生息，因此同样的名义利率增长得略快一些。以下是 10,000、6%、10 年的情况：
| 复利方式 | 10 年后的余额 | 有效年利率 |
|---|---|---|
| 按年（n = 1） | 17,908.48 | 6.000% |
| 按季度（n = 4） | 18,140.18 | 6.136% |
| 按月（n = 12） | 18,193.97 | 6.168% |
| 按日（n = 365） | 18,220.29 | 6.183% |
| 连续复利 | 18,221.19 | 6.184% |
最后一列是有效年利率：(1 + r/n)n − 1，连续复利则为 er − 1。它把复利效应折算成一个单一的年度数字。在美国称为 APY（年化收益率，annual percentage yield），在英国称为 AER（年化等效利率，annual equivalent rate），在金融领域则通称 EAR。无论复利周期如何，用这个数字比较储蓄账户，都能让它们站在同一起跑线上。
请注意差异有多小。这里从按年复利改为按日复利，十年间只多出约 312，而把利率从 6% 提高到 7%，则会多出 1,700 以上。复利频率只在其他条件相同时才起区分作用；真正起作用的是利率和时间。
定期存入：系列存款的终值
大多数人是一点一点地储蓄，而不是一次性存入一笔钱。按固定间隔存入的等额款项构成年金，其期末价值为：
FV = PMT × ((1 + i)N − 1) / i
其中 PMT 是每次存款额，i 是每个存款周期的利率，N 是存款次数。这假定每笔存款在其周期末存入。如果在期初存入，每笔存款多赚一个周期的利息，因此需把结果乘以 (1 + i)。
示例：每月存 200，存 30 年，年利率 6%、按月复利。此时 i = 0.06 ÷ 12 = 0.005，N = 360，所以 FV = 200 × (1.005360 − 1) ÷ 0.005 ≈ 200,903.01。您共存入 72,000，其余 128,903.01 是利息。如果改为每月月初存入，约为 201,907.52。
如果按月储蓄，但账户的复利频率不同，应先把利率换算为与存款周期对应的等效利率：i = (1 + r/n)n/m − 1，其中 m 是每年存款次数。对于 5% 按年复利、按月存款的情形，i = 1.051/12 − 1 ≈ 0.4074%（每月）。
为什么尽早开始很重要
两位储蓄者都获得 6%、按月复利的收益。储蓄者 A 每月存 200，存 15 年后停止，把钱再放 15 年。储蓄者 B 等了 15 年，然后每月存 400，存 15 年。两人同时结束。
| 存入总额 | 30 年后的余额 | |
|---|---|---|
| 储蓄者 A：每月 200，第 1 至 15 年 | 36,000 | 142,739.27 |
| 储蓄者 B：每月 400，第 16 至 30 年 | 72,000 | 116,327.48 |
储蓄者 A 存入的钱只有一半，最终得到的却更多，因为其资金复利的时间更长。这些是假设利率不变的示意数字；真实的投资回报会有涨有跌。
72 法则
要估算资金翻倍需要多久，用 72 除以以百分数表示的年利率。利率 6% 时，72 ÷ 6 = 12 年。这是一个心算捷径，只是近似值。按年复利时，精确的翻倍时间为 ln(2) ÷ ln(1 + r)：
| 利率 | 72 法则 | 精确值（按年复利） | 误差 |
|---|---|---|---|
| 2% | 36.0 年 | 35.00 年 | 偏长 1.00 年 |
| 4% | 18.0 年 | 17.67 年 | 偏长 0.33 年 |
| 6% | 12.0 年 | 11.90 年 | 偏长 0.10 年 |
| 8% | 9.0 年 | 9.01 年 | 偏短 0.01 年 |
| 10% | 7.2 年 | 7.27 年 | 偏短 0.07 年 |
| 12% | 6.0 年 | 6.12 年 | 偏短 0.12 年 |
该法则在 8% 左右最准确，在很低或很高的利率下偏差更大。反过来也适用：通胀率 3% 时，物价大约在 72 ÷ 3 = 24 年后翻倍（精确值约为 23.45）。
通货膨胀与实际回报
数字变大并不等于购买力变强。如果物价上涨，每单位货币能买到的东西就变少，因此需要看余额的实际价值：实际价值 = 名义价值 ÷ (1 + 通胀率)t。
示例：10,000 按年利率 5% 增长 20 年，变为 26,532.98。如果这期间通胀平均每年 3%，按今天的价格计算，其实际价值为 26,532.98 ÷ 1.0320 ≈ 14,690.67。实际回报率为 (1.05 ÷ 1.03) − 1 ≈ 1.94%（每年），比简单相减得到的 2 个百分点略低。
当利息低于通胀时，即使余额在增加，储蓄也会损失购买力。计算器允许输入通胀率，逐年显示实际价值。
费用如何削弱复利
基金、养老金和投资平台收取的年费每年都从余额中扣除，因此它们会对您形成反向复利。听起来微不足道的费用，也可能吞掉长期增长的很大一部分。下列数字是回报率恒定的示意性示例，不是对任何真实产品的预测。
| 10,000，30 年，扣费前 7% | 净增长 | 余额 |
|---|---|---|
| 无费用 | 每年 7.0% | 76,122.55 |
| 0.2% 年费 | 每年 6.8% | 71,967.69 |
| 1% 年费 | 每年 6.0% | 57,434.91 |
在这个例子中，1% 的年费造成 18,687.64 的损失，约占最终余额的四分之一，尽管它只占年回报的七分之一。利息或收益的税款也有类似作用；各国规则不同，请查阅适用于您的规定。
债务上的复利
复利对放贷方同样发挥着巨大作用。信用卡通常标示 APR，并按月对未还余额收取利息。余额 2,000、APR 24%（每月 2%），在没有还款也没有新增消费的情况下，一年后增长为 2,000 × 1.0212 ≈ 2,536.48，有效利率约为 26.82%。各家信用卡条款不同，有些按日计息，但道理相同：还款超过最低还款额，就能阻止利息再生利息。要规划还款，请参阅还债计算器或贷款计算器，后者会显示固定利率贷款的利息总额。
用您自己的数字试试
复利计算器支持初始金额、每月或每年在每期期初或期末存入、任意复利频率、逐年增加存款额和通货膨胀，并显示图表、年度表格以及代入您数字的公式。对于美国的退休储蓄，401(k) 计算器还增加了雇主匹配和缴款上限。如需快速计算百分比变化，请使用百分比计算器。
本指南为一般性信息，不构成财务建议。利率、费用和税收规则会变化，投资既可能上涨，也可能下跌。
常见问题
复利公式是什么？
A = P(1 + r/n)nt，其中 P 为起始金额，r 为以小数表示的年利率，n 为每年复利期数，t 为年数。如果定期存入资金，还需加上系列存款的终值 PMT × ((1 + i)N − 1) / i。
10,000 在 10 年里会增长到多少？
取决于利率。举例来说，年利率 5%、按月复利，10,000 约变为 16,470.09；年利率 7%、按年复利，约变为 19,671.51。可以用计算器试试您自己的利率和期限。
APR 和 APY 有什么区别？
APR 是名义年利率（对贷款而言还可能包含部分费用），而 APY（在英国称为 AER）是复利之后的有效年利率。6% 的 APR 按月复利，APY 约为 6.168%。
按日复利比按月复利好很多吗？
只好一点点。10,000、6%、10 年，按月复利变为 18,193.97，按日复利变为 18,220.29，相差约 26。
72 法则有多准确？
对常见利率来说相当接近：6% 时它给出 12 年，精确值为 11.90 年。在很低或很高的利率下准确度较差，例如 2% 时是 36 年，而精确值为 35.00 年。
在贷款上，复利会对我不利吗？
会，当未付利息被加到您所欠的金额上时就是如此，例如信用卡。大多数固定利率个人贷款和房贷按分期还款，每期还款额都覆盖当月利息，因此只要按时还款，利息就不会累积。