Zinseszins einfach erklärt: Formel und Beispiele

Zinseszinsen sind Zinsen auf Zinsen. Jedes Mal, wenn Zinsen Ihrem Guthaben gutgeschrieben werden, berechnet sich die nächste Zinszahlung aus dem größeren Betrag, sodass das Geld mit der Zeit immer schneller wächst. Die Formel lautet A = P(1 + r/n)^nt: Aus 10.000 bei 5 % pro Jahr mit jährlicher Verzinsung werden nach 10 Jahren 16.288,95, bei reiner einfacher Verzinsung dagegen nur 15.000. Dieser Ratgeber erklärt die Formel Zeichen für Zeichen, rechnet Beispiele durch, zeigt, warum die Häufigkeit der Zinsgutschrift weniger ausmacht als oft gedacht, und behandelt regelmäßiges Sparen, die 72er-Regel, Inflation, Gebühren und Schulden.

Einfache Verzinsung oder Zinseszins: der Unterschied

Bei einfacher Verzinsung erhalten Sie jedes Jahr denselben Betrag, weil die Zinsen immer nur auf die ursprüngliche Summe berechnet werden: Zinsen = P × r × t. Beim Zinseszins werden die Zinsen dem Guthaben zugeschlagen und bringen von da an selbst Zinsen.

Nehmen wir 10.000 zu 5 % pro Jahr. Mit einfacher Verzinsung gibt es jedes Jahr 500. Mit Zinseszins gibt es im ersten Jahr ebenfalls 500, im zweiten Jahr aber 5 % von 10.500, also 525, danach 5 % von 11.025, also 551,25, und so weiter.

Der Abstand ist anfangs klein und wächst dann rasch. Genau darum geht es beim Zinseszins: Die Wachstumskurve biegt sich nach oben, sodass die späteren Jahre den Großteil der Arbeit leisten.

Die Zinseszinsformel

Die Standardformel für einen einmaligen Betrag lautet:

A = P(1 + r/n)^nt

Die erzielten Zinsen sind A − P. Bei stetiger Verzinsung, dem Grenzwert für unbegrenzt wachsendes n, wird die Formel zu A = Pe^rt, wobei e ≈ 2,71828.

Rechenbeispiel

Sie legen 5.000 auf einem Konto mit 4 % Zinsen pro Jahr und monatlicher Verzinsung für 8 Jahre an.

1. Zinssatz pro Periode: r/n = 0,04 ÷ 12 ≈ 0,003333.
2. Anzahl der Perioden: nt = 12 × 8 = 96.
3. Wachstumsfaktor: (1,003333)⁹⁶ ≈ 1,3764.
4. A = 5.000 × 1,3764 ≈ 6.881,98, die erzielten Zinsen betragen also rund 1.881,98.

Wird der Wachstumsfaktor zu früh gerundet, weicht das Ergebnis um einige Einheiten ab; deshalb lohnt sich ein Rechner. Der Zinseszinsrechner rechnet diese Formel mit Ihren eigenen Zahlen Schritt für Schritt vor.

Zinsperiode, Effektivzins, APY und AER

Zinsen können jährlich, halbjährlich, vierteljährlich, monatlich oder täglich gutgeschrieben werden. Je häufiger das geschieht, desto früher bringen die Zinsen selbst Zinsen, sodass derselbe Nominalzins etwas schneller wächst. Hier 10.000 zu 6 % über 10 Jahre:

Die letzte Spalte ist der effektive Jahreszins: (1 + r/n)ⁿ − 1 bzw. e^r − 1 bei stetiger Verzinsung. Er fasst den Zinseszinseffekt in einer einzigen Jahreszahl zusammen. In den USA heißt er APY (Annual Percentage Yield), in Großbritannien AER (Annual Equivalent Rate) und in der Finanzwelt allgemein EAR. Wer Sparkonten anhand dieses Werts vergleicht, vergleicht sie fair, egal wie oft dort Zinsen gutgeschrieben werden.

Beachten Sie, wie gering die Unterschiede sind. Der Wechsel von jährlicher zu täglicher Verzinsung bringt hier über zehn Jahre etwa 312 mehr, eine Zinserhöhung von 6 % auf 7 % dagegen deutlich über 1.700. Die Häufigkeit entscheidet nur bei Gleichstand; was wirklich zählt, sind Zinssatz und Laufzeit.

Regelmäßige Sparraten: der Endwert einer Rentenreihe

Die meisten Menschen sparen nach und nach statt mit einer Einmalanlage. Gleich hohe Einzahlungen in regelmäßigen Abständen bilden eine Rentenreihe (Annuität), deren Endwert so berechnet wird:

FV = PMT × ((1 + i)^N − 1) / i

Dabei ist PMT die einzelne Einzahlung, i der Zinssatz pro Einzahlungsperiode und N die Anzahl der Einzahlungen. Die Formel geht davon aus, dass jede Einzahlung am Ende ihrer Periode erfolgt. Zahlen Sie zu Beginn ein, bringt jede Einzahlung eine Periode länger Zinsen; dann multiplizieren Sie das Ergebnis mit (1 + i).

Beispiel: 200 im Monat über 30 Jahre zu 6 % bei monatlicher Verzinsung. Dann ist i = 0,06 ÷ 12 = 0,005 und N = 360, also FV = 200 × (1,005³⁶⁰ − 1) ÷ 0,005 ≈ 200.903,01. Eingezahlt haben Sie 72.000; die übrigen 128.903,01 sind Zinsen. Bei Einzahlung jeweils zu Monatsbeginn kommen rund 201.907,52 heraus.

Sparen Sie monatlich, das Konto verzinst aber in einem anderen Rhythmus, rechnen Sie den Zinssatz zuerst in einen gleichwertigen Satz pro Einzahlungsperiode um: i = (1 + r/n)^n/m − 1, wobei m die Zahl der Einzahlungen pro Jahr ist. Bei 5 % mit jährlicher Verzinsung und monatlichen Einzahlungen gilt i = 1,05^1/12 − 1 ≈ 0,4074 % pro Monat.

Warum sich ein früher Start lohnt

Zwei Sparer erhalten 6 % bei monatlicher Verzinsung. Sparer A zahlt 15 Jahre lang 200 im Monat ein, hört dann auf und lässt das Geld weitere 15 Jahre liegen. Sparer B wartet 15 Jahre und zahlt dann 15 Jahre lang 400 im Monat ein. Beide sind zum selben Zeitpunkt fertig.

Sparer A zahlt nur halb so viel ein und hat am Ende trotzdem mehr, weil sein Geld länger Zinseszinsen bringt. Die Zahlen dienen zur Veranschaulichung und gehen von einem gleichbleibenden Zinssatz aus; echte Anlagerenditen schwanken.

Die 72er-Regel

Um abzuschätzen, wie lange es dauert, bis sich Geld verdoppelt, teilen Sie 72 durch den Jahreszins in Prozent. Bei 6 % ergibt 72 ÷ 6 = 12 Jahre. Das ist eine Faustregel für das Kopfrechnen und nur eine Näherung. Die exakte Verdopplungszeit bei jährlicher Verzinsung beträgt ln(2) ÷ ln(1 + r):

Am genauesten ist die Regel um 8 %; bei sehr niedrigen oder sehr hohen Zinssätzen liegt sie weiter daneben. Sie funktioniert auch umgekehrt: Bei 3 % Inflation verdoppeln sich die Preise in rund 72 ÷ 3 = 24 Jahren (exakt etwa 23,45).

Inflation und reale Rendite

Eine größere Zahl bedeutet nicht automatisch mehr Kaufkraft. Steigen die Preise, kauft man mit jeder Geldeinheit weniger; entscheidend ist deshalb der reale Wert Ihres Guthabens: realer Wert = Nominalwert ÷ (1 + Inflation)^t.

Beispiel: Aus 10.000, die 20 Jahre lang mit 5 % pro Jahr wachsen, werden 26.532,98. Liegt die Inflation in dieser Zeit im Schnitt bei 3 % pro Jahr, beträgt der reale Wert in heutigen Preisen 26.532,98 ÷ 1,03²⁰ ≈ 14.690,67. Die reale Rendite liegt bei (1,05 ÷ 1,03) − 1 ≈ 1,94 % pro Jahr, also etwas unter der einfachen Differenz von 2 Prozentpunkten.

Liegen die Zinsen unter der Inflation, verlieren Ersparnisse an Kaufkraft, obwohl das Guthaben steigt. Im Rechner können Sie eine Inflationsrate eingeben, um den realen Wert Jahr für Jahr zu sehen.

Wie Gebühren den Zinseszins schmälern

Jährliche Kosten von Fonds, Altersvorsorgeprodukten und Anlageplattformen werden jedes Jahr von Ihrem Guthaben abgezogen und wirken so mit Zinseszinseffekt gegen Sie. Eine winzig klingende Gebühr kann einen großen Teil des langfristigen Wachstums aufzehren. Die folgenden Zahlen sind Rechenbeispiele mit gleichbleibender Rendite, keine Prognose für ein echtes Produkt.

In diesem Beispiel kostet eine Jahresgebühr von 1 % insgesamt 18.687,64, rund ein Viertel des Endguthabens, obwohl sie nur ein Siebtel der jährlichen Rendite ausmacht. Steuern auf Zinsen oder Gewinne wirken ähnlich; die Regeln unterscheiden sich von Land zu Land, prüfen Sie also, welche für Sie gelten.

Zinseszins bei Schulden

Für Kreditgeber arbeitet der Zinseszins genauso fleißig. Kreditkarten nennen meist einen nominalen Jahreszins (APR) und berechnen monatlich Zinsen auf den offenen Saldo. Ein Saldo von 2.000 bei 24 % APR (2 % pro Monat) wächst ohne Rückzahlungen und ohne neue Ausgaben in einem Jahr auf 2.000 × 1,02¹² ≈ 2.536,48, ein effektiver Jahreszins von etwa 26,82 %. Die Kartenbedingungen sind unterschiedlich, und manche berechnen Zinsen täglich, aber die Lehre bleibt dieselbe: Wer mehr als den Mindestbetrag zahlt, verhindert, dass sich Zinsen auf Zinsen türmen. Zur Planung der Rückzahlung nutzen Sie den Schuldentilgungsrechner oder den Kreditrechner, der zeigt, wie viel Zinsen ein Kredit mit festem Zinssatz insgesamt kostet.

Mit eigenen Zahlen ausprobieren

Der Zinseszinsrechner berücksichtigt einen Anfangsbetrag, monatliche oder jährliche Einzahlungen zu Beginn oder am Ende jeder Periode, jede beliebige Zinsperiode, jährliche Steigerungen der Einzahlungen sowie Inflation und zeigt ein Diagramm, eine Jahrestabelle und die Formel mit Ihren Zahlen. Für die Altersvorsorge in den USA berücksichtigt der 401(k)-Rechner zusätzlich Arbeitgeberzuschüsse und Beitragsgrenzen. Für schnelle prozentuale Änderungen nutzen Sie den Prozentrechner.

Dieser Ratgeber dient der allgemeinen Information und ist keine Finanzberatung. Zinssätze, Gebühren und Steuerregeln ändern sich, und der Wert von Anlagen kann sowohl steigen als auch fallen.

Häufig gestellte Fragen

Wie lautet die Zinseszinsformel?

A = P(1 + r/n)^nt, wobei P der Anfangsbetrag ist, r der Jahreszins als Dezimalzahl, n die Zahl der Zinsperioden pro Jahr und t die Anzahl der Jahre. Bei regelmäßigen Einzahlungen kommt der Endwert der Rentenreihe hinzu: PMT × ((1 + i)^N − 1) / i.

Wie stark wachsen 10.000 in 10 Jahren?

Das hängt vom Zinssatz ab. Zum Beispiel werden aus 10.000 bei 5 % pro Jahr mit monatlicher Verzinsung rund 16.470,09; bei 7 % mit jährlicher Verzinsung rund 19.671,51. Probieren Sie Ihren eigenen Zinssatz und Ihre Laufzeit im Rechner aus.

Was ist der Unterschied zwischen APR und APY?

APR ist ein nominaler Jahreszins (bei Krediten kann er auch bestimmte Gebühren enthalten), APY, in Großbritannien AER genannt, ist dagegen der effektive Jahreszins nach Zinseszins. 6 % APR bei monatlicher Verzinsung entsprechen einem APY von etwa 6,168 %.

Ist tägliche Verzinsung viel besser als monatliche?

Nur geringfügig. Aus 10.000 zu 6 % über 10 Jahre werden bei monatlicher Verzinsung 18.193,97 und bei täglicher Verzinsung 18.220,29, ein Unterschied von etwa 26.

Wie genau ist die 72er-Regel?

Bei üblichen Zinssätzen liegt sie nah dran: Bei 6 % ergibt sie 12 Jahre gegenüber exakt 11,90. Bei sehr niedrigen oder sehr hohen Zinssätzen ist sie ungenauer, etwa 36 Jahre gegenüber 35,00 bei 2 %.

Wirkt der Zinseszins bei Krediten gegen mich?

Ja, wenn unbezahlte Zinsen auf Ihre Schulden aufgeschlagen werden, wie bei Kreditkarten. Die meisten Ratenkredite und Baufinanzierungen mit festem Zinssatz werden in Raten getilgt, die die Zinsen des jeweiligen Monats abdecken, sodass sich keine Zinsen ansammeln, solange Sie die Raten pünktlich zahlen.