El interés compuesto es el interés que se gana sobre los intereses. Cada vez que se suman intereses a tu saldo, los siguientes se calculan sobre un total mayor, así que el dinero crece cada vez más deprisa con el tiempo. La fórmula es A = P(1 + r/n)nt: 10.000 al 5 % anual con capitalización anual se convierten en 16.288,95 al cabo de 10 años, frente a 15.000 si solo se pagara interés simple. Esta guía explica la fórmula símbolo a símbolo, resuelve ejemplos, muestra por qué la frecuencia de capitalización importa menos de lo que se cree y trata el ahorro periódico, la regla del 72, la inflación, las comisiones y las deudas.
- El interés simple se paga solo sobre el importe inicial; el interés compuesto se paga también sobre los intereses ya ganados.
- La fórmula A = P(1 + r/n)nt usa el importe inicial P, el tipo anual r, el número de periodos de capitalización al año n y los años t.
- El tiempo y el tipo de interés importan mucho más que la frecuencia de capitalización. La APY o AER indica el tipo anual real una vez incluida la capitalización.
- La regla del 72 (72 ÷ tipo = años para duplicar) es una aproximación rápida, no un resultado exacto.
- La inflación y las comisiones también tienen efecto compuesto, igual que los intereses de deudas como las tarjetas de crédito.
Interés simple frente a interés compuesto
Con el interés simple ganas la misma cantidad cada año, porque el interés se calcula siempre sobre la suma inicial: interés = P × r × t. Con el interés compuesto los intereses se suman al saldo y, a partir de ese momento, generan intereses propios.
Pongamos 10.000 al 5 % anual. El interés simple paga 500 cada año. El interés compuesto también paga 500 el primer año, pero el segundo paga el 5 % de 10.500, es decir, 525; luego el 5 % de 11.025, que son 551,25, y así sucesivamente.
| 10.000 al 5 % anual | Interés simple | Capitalización anual | Diferencia |
|---|---|---|---|
| Al cabo de 1 año | 10.500,00 | 10.500,00 | 0,00 |
| Al cabo de 10 años | 15.000,00 | 16.288,95 | 1.288,95 |
| Al cabo de 30 años | 25.000,00 | 43.219,42 | 18.219,42 |
Al principio la diferencia es pequeña, pero luego se amplía rápidamente. Esa es la clave de la capitalización: la curva de crecimiento se inclina hacia arriba, de modo que los últimos años hacen la mayor parte del trabajo.
La fórmula del interés compuesto
La fórmula estándar para una única cantidad es:
A = P(1 + r/n)nt
| Símbolo | Significado | Ejemplo |
|---|---|---|
| A | El importe final (saldo con intereses incluidos) | Lo que quieres calcular |
| P | El capital, es decir, la cantidad con la que empiezas | 5.000 |
| r | El tipo de interés anual en forma decimal | 4 % = 0,04 |
| n | Cuántas veces al año se suman los intereses | 12 si es mensual |
| t | El número de años | 8 |
Los intereses ganados son A − P. Si el interés se capitaliza de forma continua, es decir, en el límite en que n crece sin fin, la fórmula pasa a ser A = Pert, donde e ≈ 2,71828.
Ejemplo resuelto
Ingresas 5.000 en una cuenta que paga un 4 % anual, con capitalización mensual, durante 8 años.
- Tipo por periodo: r/n = 0,04 ÷ 12 ≈ 0,003333.
- Número de periodos: nt = 12 × 8 = 96.
- Factor de crecimiento: (1,003333)96 ≈ 1,3764.
- A = 5.000 × 1,3764 ≈ 6.881,98, así que los intereses ganados son unos 1.881,98.
Si redondeas el factor de crecimiento demasiado pronto, el resultado se desvía unas cuantas unidades; por eso conviene usar una calculadora. La calculadora de interés compuesto muestra esta fórmula paso a paso con tus propios números.
Frecuencia de capitalización, APY, AER y EAR
Los intereses pueden sumarse cada año, cada semestre, cada trimestre, cada mes o cada día. Cuanto más frecuente es la capitalización, antes empiezan los intereses a generar intereses, así que el mismo tipo nominal crece un poco más rápido. Este es el caso de 10.000 al 6 % durante 10 años:
| Capitalización | Saldo al cabo de 10 años | Tipo efectivo anual |
|---|---|---|
| Anual (n = 1) | 17.908,48 | 6,000 % |
| Trimestral (n = 4) | 18.140,18 | 6,136 % |
| Mensual (n = 12) | 18.193,97 | 6,168 % |
| Diaria (n = 365) | 18.220,29 | 6,183 % |
| Continua | 18.221,19 | 6,184 % |
La última columna es el tipo efectivo anual: (1 + r/n)n − 1, o er − 1 en la capitalización continua. Incorpora la capitalización en una sola cifra anual. En Estados Unidos se llama APY (annual percentage yield), en el Reino Unido AER (annual equivalent rate) y, en finanzas en general, EAR (effective annual rate). Comparar cuentas de ahorro con esta cifra las pone en igualdad de condiciones, sea cual sea su calendario de capitalización.
Fíjate en lo pequeñas que son las diferencias. Pasar de capitalización anual a diaria añade unos 312 en diez años en este ejemplo, mientras que subir el tipo del 6 % al 7 % añadiría bastante más de 1.700. La frecuencia sirve para desempatar; lo que cuenta es el tipo y el tiempo.
Aportaciones periódicas: el valor futuro de una serie
La mayoría de la gente ahorra poco a poco en lugar de hacer un único ingreso. Los ingresos iguales hechos a intervalos regulares forman una renta (anualidad), y su valor final es:
FV = PMT × ((1 + i)N − 1) / i
Aquí PMT es cada aportación, i es el tipo de interés por periodo de aportación y N es el número de aportaciones. Se supone que cada aportación se hace al final de su periodo. Si pagas al principio, cada aportación gana un periodo más de intereses, así que multiplica el resultado por (1 + i).
Ejemplo: 200 al mes durante 30 años al 6 % con capitalización mensual. Entonces i = 0,06 ÷ 12 = 0,005 y N = 360, así que FV = 200 × (1,005360 − 1) ÷ 0,005 ≈ 200.903,01. Has aportado 72.000; los 128.903,01 restantes son intereses. Si pagas al principio de cada mes, obtienes unos 201.907,52.
Si ahorras cada mes pero la cuenta capitaliza con otra frecuencia, convierte primero el tipo en un tipo equivalente por periodo de aportación: i = (1 + r/n)n/m − 1, donde m es el número de aportaciones al año. Para un 5 % con capitalización anual y aportaciones mensuales, i = 1,051/12 − 1 ≈ 0,4074 % al mes.
Por qué importa empezar pronto
Dos ahorradores obtienen un 6 % con capitalización mensual. El ahorrador A aporta 200 al mes durante 15 años, luego para y deja el dinero otros 15 años. El ahorrador B espera 15 años y después aporta 400 al mes durante 15 años. Los dos terminan a la vez.
| Aportado | Saldo al cabo de 30 años | |
|---|---|---|
| Ahorrador A: 200 al mes, años 1 a 15 | 36.000 | 142.739,27 |
| Ahorrador B: 400 al mes, años 16 a 30 | 72.000 | 116.327,48 |
El ahorrador A aporta la mitad y aun así acaba con más, porque su dinero se capitaliza durante más tiempo. Son cifras ilustrativas con un tipo constante; la rentabilidad real de las inversiones sube y baja.
La regla del 72
Para estimar cuánto tarda el dinero en duplicarse, divide 72 entre el tipo de interés anual en porcentaje. Al 6 %, 72 ÷ 6 = 12 años. Es un atajo mental y solo una aproximación. El tiempo exacto de duplicación con capitalización anual es ln(2) ÷ ln(1 + r):
| Tipo | Regla del 72 | Exacto (capitalización anual) | Error |
|---|---|---|---|
| 2 % | 36,0 años | 35,00 años | 1,00 año de más |
| 4 % | 18,0 años | 17,67 años | 0,33 años de más |
| 6 % | 12,0 años | 11,90 años | 0,10 años de más |
| 8 % | 9,0 años | 9,01 años | 0,01 años de menos |
| 10 % | 7,2 años | 7,27 años | 0,07 años de menos |
| 12 % | 6,0 años | 6,12 años | 0,12 años de menos |
La regla es más precisa en torno al 8 % y se desvía más con tipos muy bajos o muy altos. También funciona a la inversa: con una inflación del 3 %, los precios se duplican en unos 72 ÷ 3 = 24 años (exactamente, unos 23,45).
Inflación y rentabilidad real
Una cifra más alta no equivale a más poder adquisitivo. Si los precios suben, cada unidad de dinero compra menos, así que tienes que fijarte en el valor real de tu saldo: valor real = valor nominal ÷ (1 + inflación)t.
Ejemplo: 10.000 que crecen al 5 % anual durante 20 años se convierten en 26.532,98. Si la inflación media de ese periodo es del 3 % anual, su valor real a precios de hoy es 26.532,98 ÷ 1,0320 ≈ 14.690,67. La rentabilidad real es (1,05 ÷ 1,03) − 1 ≈ 1,94 % anual, algo menos que la simple diferencia de 2 puntos porcentuales.
Cuando el interés es inferior a la inflación, los ahorros pierden poder adquisitivo aunque el saldo aumente. La calculadora te permite introducir una tasa de inflación para ver el valor real año a año.
Cómo reducen las comisiones el efecto de la capitalización
Las comisiones anuales de fondos, planes de pensiones y plataformas de inversión se descuentan de tu saldo cada año, así que su efecto compuesto juega en tu contra. Una comisión que parece mínima puede llevarse buena parte del crecimiento a largo plazo. Las cifras siguientes son ejemplos ilustrativos con una rentabilidad constante, no una previsión para ningún producto real.
| 10.000 durante 30 años al 7 % antes de comisiones | Crecimiento neto | Saldo |
|---|---|---|
| Sin comisiones | 7,0 % anual | 76.122,55 |
| Comisión anual del 0,2 % | 6,8 % anual | 71.967,69 |
| Comisión anual del 1 % | 6,0 % anual | 57.434,91 |
En este ejemplo, una comisión del 1 % anual cuesta 18.687,64, alrededor de una cuarta parte del saldo final, aunque solo es una séptima parte de la rentabilidad anual. Los impuestos sobre intereses o plusvalías funcionan de forma parecida; las normas varían de un país a otro, así que comprueba las que se te aplican.
La capitalización en las deudas
La capitalización trabaja con la misma fuerza a favor de quien presta. Las tarjetas de crédito suelen indicar una APR y cobran intereses cada mes sobre el saldo pendiente. Un saldo de 2.000 con una APR del 24 % (2 % al mes), sin pagos ni nuevas compras, crece hasta 2.000 × 1,0212 ≈ 2.536,48 en un año, un tipo efectivo de alrededor del 26,82 %. Las condiciones de cada tarjeta varían, y algunas cobran intereses a diario, pero la lección es la misma: pagar más que el mínimo evita que los intereses se acumulen sobre los intereses. Para planificar los pagos, consulta la calculadora de pago de deudas o la calculadora de préstamos, que muestra cuánto cuesta en total en intereses un préstamo a tipo fijo.
Pruébalo con tus propios números
La calculadora de interés compuesto admite un importe inicial, aportaciones mensuales o anuales al principio o al final de cada periodo, cualquier frecuencia de capitalización, aumentos anuales de las aportaciones e inflación, y muestra un gráfico, una tabla anual y la fórmula con tus cifras. Para el ahorro para la jubilación en Estados Unidos, la calculadora 401(k) añade la aportación de la empresa y los límites de aportación. Para variaciones porcentuales rápidas, usa la calculadora de porcentajes.
Esta guía es información general, no asesoramiento financiero. Los tipos, las comisiones y las normas fiscales cambian, y las inversiones pueden bajar además de subir.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula del interés compuesto?
A = P(1 + r/n)nt, donde P es el importe inicial, r el tipo anual en forma decimal, n el número de periodos de capitalización al año y t el número de años. Para aportaciones periódicas, suma el valor futuro de una serie, PMT × ((1 + i)N − 1) / i.
¿Cuánto crecen 10.000 en 10 años?
Depende del tipo. Por ejemplo, al 5 % anual con capitalización mensual, 10.000 se convierten en unos 16.470,09; al 7 % con capitalización anual, en unos 19.671,51. Usa la calculadora para probar tu propio tipo y plazo.
¿Qué diferencia hay entre APR y APY?
La APR es un tipo anual nominal (en los préstamos también puede incluir algunas comisiones), mientras que la APY, llamada AER en el Reino Unido, es el tipo anual efectivo tras la capitalización. Una APR del 6 % con capitalización mensual equivale a una APY de alrededor del 6,168 %.
¿Es mucho mejor la capitalización diaria que la mensual?
Solo un poco. 10.000 al 6 % durante 10 años se convierten en 18.193,97 con capitalización mensual y en 18.220,29 con capitalización diaria, una diferencia de unos 26.
¿Qué precisión tiene la regla del 72?
Se acerca bastante con tipos habituales: al 6 % da 12 años frente a 11,90 exactos. Es menos precisa con tipos muy bajos o muy altos; por ejemplo, 36 años frente a 35,00 al 2 %.
¿El interés compuesto juega en mi contra en los préstamos?
Sí, cuando los intereses impagados se suman a lo que debes, como en las tarjetas de crédito. La mayoría de los préstamos personales e hipotecas a tipo fijo se devuelven en cuotas que cubren los intereses de cada mes, así que los intereses no se acumulan mientras sigas pagando las cuotas.