Juros compostos são juros que rendem sobre juros. Cada vez que os juros são somados ao seu saldo, a rodada seguinte é calculada sobre o total maior, e por isso o dinheiro cresce cada vez mais rápido com o tempo. A fórmula é A = P(1 + r/n)nt: 10.000 a 5% ao ano, capitalizados anualmente, viram 16.288,95 após 10 anos, contra 15.000 se fossem pagos apenas juros simples. Este guia explica a fórmula símbolo por símbolo, resolve exemplos, mostra por que a frequência de capitalização importa menos do que se pensa e aborda aportes regulares, a regra dos 72, inflação, taxas e dívidas.
- Os juros simples são pagos apenas sobre o valor original; os juros compostos também são pagos sobre os juros já ganhos.
- A fórmula A = P(1 + r/n)nt usa o valor inicial P, a taxa anual r, o número de períodos de capitalização por ano n e os anos t.
- O tempo e a taxa importam muito mais do que a frequência de capitalização. A taxa efetiva anual (APY ou AER, em inglês) mostra a taxa anual real já com a capitalização incluída.
- A regra dos 72 (72 ÷ taxa = anos para dobrar) é uma aproximação rápida, não uma resposta exata.
- A inflação e as taxas também se acumulam, assim como os juros de dívidas, como os do cartão de crédito.
Juros simples x juros compostos
Com juros simples você ganha o mesmo valor todo ano, porque os juros são sempre calculados apenas sobre a quantia original: juros = P × r × t. Com juros compostos, os juros são somados ao saldo e, a partir daí, passam a render juros próprios.
Considere 10.000 a 5% ao ano. Os juros simples pagam 500 por ano. Os juros compostos também pagam 500 no primeiro ano, mas no segundo ano pagam 5% de 10.500, que é 525, depois 5% de 11.025, que é 551,25, e assim por diante.
| 10.000 a 5% ao ano | Juros simples | Capitalizado anualmente | Diferença |
|---|---|---|---|
| Após 1 ano | 10.500,00 | 10.500,00 | 0,00 |
| Após 10 anos | 15.000,00 | 16.288,95 | 1.288,95 |
| Após 30 anos | 25.000,00 | 43.219,42 | 18.219,42 |
No começo a diferença é pequena e depois aumenta rapidamente. É esse o sentido da capitalização: a curva de crescimento se inclina para cima, e os últimos anos fazem a maior parte do trabalho.
A fórmula dos juros compostos
A fórmula padrão para um valor único é:
A = P(1 + r/n)nt
| Símbolo | Significado | Exemplo |
|---|---|---|
| A | O montante final (saldo incluindo os juros) | O que você quer descobrir |
| P | O capital, o valor com que você começa | 5.000 |
| r | A taxa de juros anual em forma decimal | 4% = 0,04 |
| n | Quantas vezes por ano os juros são somados | 12 para mensal |
| t | O número de anos | 8 |
Os juros ganhos são A − P. Se os juros forem capitalizados continuamente, o limite quando n cresce sem fim, a fórmula passa a ser A = Pert, em que e ≈ 2,71828.
Exemplo resolvido
Você aplica 5.000 em uma conta que paga 4% ao ano, capitalizados mensalmente, por 8 anos.
- Taxa por período: r/n = 0,04 ÷ 12 ≈ 0,003333.
- Número de períodos: nt = 12 × 8 = 96.
- Fator de crescimento: (1,003333)96 ≈ 1,3764.
- A = 5.000 × 1,3764 ≈ 6.881,98, portanto os juros ganhos são de cerca de 1.881,98.
Arredondar o fator de crescimento cedo demais faz a resposta se desviar em algumas unidades, por isso ajuda usar uma calculadora. A calculadora de juros compostos mostra essa fórmula resolvida com os seus próprios números.
Frequência de capitalização, APY, AER e taxa efetiva
Os juros podem ser somados anualmente, semestralmente, trimestralmente, mensalmente ou diariamente. Capitalizar com mais frequência significa que os juros começam a render juros mais cedo, então a mesma taxa nominal cresce um pouco mais rápido. Veja 10.000 a 6% por 10 anos:
| Capitalização | Saldo após 10 anos | Taxa efetiva anual |
|---|---|---|
| Anual (n = 1) | 17.908,48 | 6,000% |
| Trimestral (n = 4) | 18.140,18 | 6,136% |
| Mensal (n = 12) | 18.193,97 | 6,168% |
| Diária (n = 365) | 18.220,29 | 6,183% |
| Contínua | 18.221,19 | 6,184% |
A última coluna é a taxa efetiva anual: (1 + r/n)n − 1, ou er − 1 para capitalização contínua. Ela reúne a capitalização em um único valor anual. Nos EUA chama-se APY (annual percentage yield), no Reino Unido AER (annual equivalent rate) e, nas finanças em geral, EAR (taxa efetiva anual). Comparar contas de poupança por esse valor as coloca em pé de igualdade, seja qual for o calendário de capitalização.
Repare como as diferenças são pequenas. Passar de capitalização anual para diária acrescenta cerca de 312 em dez anos neste caso, enquanto aumentar a taxa de 6% para 7% acrescentaria bem mais de 1.700. A frequência é um critério de desempate; o que conta são a taxa e o tempo.
Aportes regulares: o valor futuro de uma série
A maioria das pessoas poupa aos poucos, e não em uma quantia única. Depósitos iguais feitos em intervalos regulares formam uma anuidade (série de pagamentos), e o valor dela no final é:
VF = PMT × ((1 + i)N − 1) / i
Aqui, PMT é cada depósito, i é a taxa de juros por período de depósito e N é o número de depósitos. Isso pressupõe que cada depósito é feito no fim do respectivo período. Se você paga no início, cada depósito rende um período extra de juros, então multiplique o resultado por (1 + i).
Exemplo: 200 por mês durante 30 anos a 6% capitalizados mensalmente. Então i = 0,06 ÷ 12 = 0,005 e N = 360, de modo que VF = 200 × (1,005360 − 1) ÷ 0,005 ≈ 200.903,01. Você depositou 72.000; os outros 128.903,01 são juros. Pagando no início de cada mês, o resultado é de cerca de 201.907,52.
Se você poupa mensalmente, mas a conta capitaliza em outra frequência, primeiro converta a taxa em uma taxa equivalente por período de depósito: i = (1 + r/n)n/m − 1, em que m é o número de depósitos por ano. Para 5% capitalizados anualmente com depósitos mensais, i = 1,051/12 − 1 ≈ 0,4074% ao mês.
Por que começar cedo faz diferença
Dois poupadores ganham 6% capitalizados mensalmente. O poupador A deposita 200 por mês durante 15 anos, depois para e deixa o dinheiro render por mais 15 anos. O poupador B espera 15 anos e então deposita 400 por mês durante 15 anos. Os dois terminam ao mesmo tempo.
| Depositado | Saldo após 30 anos | |
|---|---|---|
| Poupador A: 200 por mês, anos 1 a 15 | 36.000 | 142.739,27 |
| Poupador B: 400 por mês, anos 16 a 30 | 72.000 | 116.327,48 |
O poupador A deposita metade do valor e ainda assim termina com mais, porque o dinheiro dele rende por mais tempo. Esses números são ilustrativos, com taxa constante; os retornos reais de investimentos sobem e descem.
A regra dos 72
Para estimar quanto tempo o dinheiro leva para dobrar, divida 72 pela taxa de juros anual em porcentagem. A 6%, 72 ÷ 6 = 12 anos. É um atalho mental e apenas uma aproximação. O tempo exato para dobrar com capitalização anual é ln(2) ÷ ln(1 + r):
| Taxa | Regra dos 72 | Exato (capitalização anual) | Erro |
|---|---|---|---|
| 2% | 36,0 anos | 35,00 anos | 1,00 ano a mais |
| 4% | 18,0 anos | 17,67 anos | 0,33 ano a mais |
| 6% | 12,0 anos | 11,90 anos | 0,10 ano a mais |
| 8% | 9,0 anos | 9,01 anos | 0,01 ano a menos |
| 10% | 7,2 anos | 7,27 anos | 0,07 ano a menos |
| 12% | 6,0 anos | 6,12 anos | 0,12 ano a menos |
A regra é mais precisa em torno de 8% e se afasta mais em taxas muito baixas ou muito altas. Ela também funciona no sentido contrário: com inflação de 3%, os preços dobram em cerca de 72 ÷ 3 = 24 anos (exatamente cerca de 23,45).
Inflação e retorno real
Um número maior não é o mesmo que mais poder de compra. Se os preços sobem, cada unidade de dinheiro compra menos, então é preciso olhar o valor real do seu saldo: valor real = valor nominal ÷ (1 + inflação)t.
Exemplo: 10.000 crescendo a 5% ao ano por 20 anos viram 26.532,98. Se a inflação média nesse período for de 3% ao ano, o valor real a preços de hoje é 26.532,98 ÷ 1,0320 ≈ 14.690,67. A taxa real de retorno é (1,05 ÷ 1,03) − 1 ≈ 1,94% ao ano, um pouco menos do que a simples diferença de 2 pontos percentuais.
Quando os juros são menores que a inflação, a poupança perde poder de compra mesmo com o saldo subindo. A calculadora permite informar uma taxa de inflação para mostrar o valor real ano a ano.
Como as taxas reduzem a capitalização
As taxas anuais cobradas por fundos, planos de previdência e plataformas de investimento saem do seu saldo todo ano, então se acumulam contra você. Uma taxa que parece minúscula pode levar uma grande parte do crescimento de longo prazo. Os valores abaixo são exemplos ilustrativos com retorno constante, não uma previsão para nenhum produto real.
| 10.000 por 30 anos a 7% antes das taxas | Crescimento líquido | Saldo |
|---|---|---|
| Sem taxas | 7,0% ao ano | 76.122,55 |
| Taxa anual de 0,2% | 6,8% ao ano | 71.967,69 |
| Taxa anual de 1% | 6,0% ao ano | 57.434,91 |
Neste exemplo, uma taxa anual de 1% custa 18.687,64, cerca de um quarto do saldo final, embora seja apenas um sétimo do retorno anual. Os impostos sobre juros ou ganhos funcionam de modo parecido; as regras variam de país para país, então verifique as que se aplicam a você.
Capitalização sobre dívidas
A capitalização trabalha com a mesma força para quem empresta. Os cartões de crédito costumam informar uma taxa anual nominal (APR) e cobram juros mensalmente sobre o saldo não pago. Um saldo de 2.000 a 24% de APR (2% ao mês), sem pagamentos e sem novos gastos, cresce para 2.000 × 1,0212 ≈ 2.536,48 em um ano, uma taxa efetiva de cerca de 26,82%. As condições dos cartões variam, e alguns cobram juros diariamente, mas a lição é a mesma: pagar mais que o mínimo impede que juros se acumulem sobre juros. Para planejar os pagamentos, veja a calculadora de quitação de dívidas dos EUA ou a calculadora de empréstimo do Reino Unido, que mostra quanto um empréstimo de taxa fixa custa de juros no total.
Experimente com os seus números
A calculadora de juros compostos trabalha com um valor inicial, depósitos mensais ou anuais no início ou no fim de cada período, qualquer frequência de capitalização, aumentos anuais dos aportes e inflação, e mostra um gráfico, uma tabela anual e a fórmula com os seus valores. Para poupar para a aposentadoria nos EUA, a calculadora de 401(k) acrescenta a contrapartida do empregador e os limites de contribuição. Para variações percentuais rápidas, use a calculadora de porcentagem.
Este guia traz informações gerais, não aconselhamento financeiro. Taxas, tarifas e regras tributárias mudam, e os investimentos podem tanto subir quanto cair.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula dos juros compostos?
A = P(1 + r/n)nt, em que P é o valor inicial, r a taxa anual em forma decimal, n o número de períodos de capitalização por ano e t o número de anos. Para depósitos regulares, acrescente o valor futuro de uma série, PMT × ((1 + i)N − 1) / i.
Quanto 10.000 rendem em 10 anos?
Depende da taxa. Por exemplo, a 5% ao ano capitalizados mensalmente, 10.000 viram cerca de 16.470,09; a 7% capitalizados anualmente, viram cerca de 19.671,51. Use a calculadora para testar a sua taxa e o seu prazo.
Qual é a diferença entre APR e APY?
A APR é uma taxa anual nominal (nos empréstimos, também pode incluir algumas tarifas), enquanto a APY, chamada de AER no Reino Unido, é a taxa anual efetiva após a capitalização. Uma APR de 6% capitalizada mensalmente equivale a uma APY de cerca de 6,168%.
A capitalização diária é muito melhor que a mensal?
Só um pouco. 10.000 a 6% por 10 anos viram 18.193,97 com capitalização mensal e 18.220,29 com capitalização diária, uma diferença de cerca de 26.
Qual é a precisão da regra dos 72?
Ela é bem próxima para taxas típicas: a 6%, indica 12 anos contra 11,90 exatos. É menos precisa em taxas muito baixas ou muito altas, por exemplo 36 anos contra 35,00 a 2%.
Os juros compostos jogam contra mim nos empréstimos?
Sim, quando os juros não pagos são somados ao que você deve, como nos cartões de crédito. A maioria dos empréstimos pessoais e financiamentos de taxa fixa é paga em parcelas que cobrem os juros de cada mês, então os juros não se acumulam enquanto você mantiver os pagamentos em dia.